第4章《锐角三角形》中考题集（29）：4.3 解直角三角形及其应用（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直．现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：
方案一：E⇒D⇒A⇒B；
方案二：E⇒C⇒B⇒A．
经测量得AB=4千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15度．已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米．
（1）求出河宽AD（结果保留根号）；
（2）求出公路CD的长；
（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由．

2. 难度：中等

现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，应成20°的俯角α（即望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角）；而小臂平放，肘部形成100°的钝角β．张燕家刚买的电脑显示器屏幕的高度为24.5cm，屏幕的上边缘到显示器支座底部的距离为36cm．已知张燕同学眼部到肩部的垂直距离为20cm，大臂长（肩部到肘部的距离）DE=28cm，张燕同学坐姿正确时肩部到臀部的距离是DM=53cm，请你帮张燕同学计算一下：

（1）她要按正确坐姿坐在电脑前，眼与显示器屏幕的距离应是多少？（精确到0.1cm）
（2）她要订做一套适合自己的电脑桌椅，桌、椅及键盘三者之间的高度应如何搭配？（精确到0.1cm）

3. 难度：中等

某种吊车的车身高EF=2m，吊车臂AB=24m，现要把如图1的圆柱形的装饰物吊到14m高的屋顶上安装．吊车在吊起的过程中，圆柱形的装饰物始终保持水平，如图2，若吊车臂与水平方向的夹角为59°，问能否吊装成功．（sin59°=0.8572，cos59°=0.5150，tan59°=1.6643，cot59°=0.6009）

4. 难度：中等

如图，在一张圆桌（圆心为点O）的正上方点A处吊着一盏照明灯，实践证明：桌子边沿处的光的亮度与灯距离桌面的高度AO有关，且当sin∠ABO=时，桌子边沿处点B的光的亮度最大，设OB=60cm，求此时灯距离桌面的高度OA（结果精确到1cm）．
（参考数据：≈1.414；≈1.732；≈2.236）

5. 难度：中等

某公共场所准备改善原有楼梯的安全性能，把倾角为45°减为30°（楼梯高度不变），已知原楼梯长为4m，那么调整的楼梯会增加多长楼梯多占了多长一段地面？（结果可用根式表示）

6. 难度：中等

如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD=60°，坡长AB=20m，为加强水坝强度，降坝底从A处后水平延伸到F处，使新的背水坡角∠F=45°，求AF的长度（结果精确到1米，参考数据：1.414，1.732）．

7. 难度：中等

云南2009年秋季以来遭遇百年一遇的全省性特大旱灾，部分坝塘干涸，小河、小溪断流，更为严重的情况是有的水库已经见底，全省库塘蓄水急剧减少，为确保城乡居民生活用水，有关部门需要对某水库的现存水量进行统计，以下是技术员在测量时的一些数据：水库大坝的横截面是梯形ABCD（如图所示），AD∥BC，EF为水面，点E在DC上，测得背水坡AB的长为18米，倾角∠B=30°，迎水坡CD上线段DE的长为8米，∠ADC=120°．

（1）请你帮技术员算出水的深度（精确到0.01米，参考数据）；
（2）就水的深度而言，平均每天水位下降必须控制在多少米以内，才能保证现有水量至少能使用20天？（精确到0.01米）

8. 难度：中等

某过街天桥的截面图形为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为：i=1：（i=1：是指铅直高度DE与水平宽度CE的比），CD的长为10m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABG=45°
（1）写出过街天桥斜面AB的坡度；
（2）求DE的长；
（3）若决定对该天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长．（结果精确到0.01）

9. 难度：中等

庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度，坡面AC长240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）

10. 难度：中等

阅读材料：
（1）等高线概念：在地图上，我们把地面上海拔高度相同的点连成的闭合曲线叫等高线，
例如，如图1，把海拔高度是50米，100米，150米的点分别连接起来，就分别形
成50米，100米，150米三条等高线．
（2）利用等高线地形图求坡度的步骤如下：（如图2）
步骤一：根据两点A，B所在的等高线地形图，分别读出点A，B的高度；A，B两点的
铅直距离=点A，B的高度差；
步骤二：量出AB在等高线地形图上的距离为d个单位，若等高线地形图的比例尺为
1：m，则A，B两点的水平距离=dn；
步骤三：AB的坡度==；
请按照下列求解过程完成填空．
某中学学生小明和小丁生活在山城，如图3，小明每天上学从家A经过B沿着公路AB，BP到学校P，小丁每天上学从家C沿着公路CP到学校P．该山城等高线地形图的比例尺为：1：50000，在等高线地形图上量得AB=1.8厘米，BP=3.6厘米，CP=4.2厘米
（1）分别求出AB，BP，CP的坡度（同一段路中间坡度的微小变化忽略不计）；
（2）若他们早晨7点同时步行从家出发，中途不停留，谁先到学校？（假设当坡度在
到之间时，小明和小丁步行的平均速度均约为1.3米/秒；当坡度在到之间
时，小明和小丁步行的平均速度均约为1米/秒）
【解析】
（1）AB的水平距离=1.8×50000=90000（厘米）=900（米），AB的坡度==；
BP的水平距离=3.6×50000=180000（厘米）=1800（米），BP的坡度==；
CP的水平距离=4.2×50000=210000（厘米）=2100（米），CP的坡度=______．
（2）因为＜＜，所以小明在路段AB，BP上步行的平均速度均约为1.3米/秒，因为
______，所以小丁在路段CP上步行的平均速度约为______米/秒，斜坡AB的距离==906（米），斜坡BP的距离==1811（米），斜坡CP的距离==2121（米），所以小明从家道学校的时间==2090（秒）．小丁从家到学校的时间约为______秒．因此，______先到学校．

11. 难度：中等

如图，在上海世博会场馆通道的建设中，建设工人将坡长为10米（AB=10米）、坡角为20°30′（∠BAC=20°30′）的斜坡通道改造成坡角为12°30′（∠BDC=12°30′）的斜坡通道，使坡的起点从点A处向左平移至点D处，求改造后的斜坡通道BD的长．
（结果精确到0.1米．参考数据：sin12°30′≈0.21，sin20°30′≈0.35，sin69°30′≈0.94）．

12. 难度：中等

如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）

13. 难度：中等

如图，在一个坡角为20°的斜坡上有一棵树，高为AB，当太阳光线与水平线成52°角时，测得该树斜坡上的树影BC的长为10m，求树高AB（精确到0.1m）
（已知：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，sin52°≈0.788，cos52°≈0.616，tan52°≈1.280．供选用）

14. 难度：中等

如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平地面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少米？
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．
（参考数据：，，，以上结果均保留到小数点后两位）

15. 难度：中等

水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固．原大坝的横断面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水面AB的长为10米，∠B=60°，背水面DC的长度为10米，加固后大坝的横断面为梯形ABED．若CE的长为5米．
（1）已知需加固的大坝长为100米，求需要填方多少立方米；
（2）求新大坝背水面DE的坡度．（计算结果保留根号）

16. 难度：中等

设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD，如图（单位：米）．设路基高为h，两侧的坡角分别为α和β，已知h=2，α=45°，tanβ=，CD=10．
（1）求路基底部AB的宽；
（2）修筑这样的路基1000米，需要多少土石方？

17. 难度：中等

如图，在一滑梯侧面示意图中，BD∥AF，BC⊥AF与点C，DE⊥AF于点E，BC=1.8m，BD=0.5m，∠A=45°，∠F=29°
（1）求滑到DF的长（精确到0.1m）；
（2）求踏梯AB底端A与滑到DF底端F的距离AF（精确到0.1m）
（参考数据：sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55）

18. 难度：中等

如图．是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°，为了方便行人安全过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°．若新坡脚前需留2.5米的人行道，问离原坡脚10米的建筑物是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

19. 难度：中等

如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD=12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5度．

（1）求坡高CD；
（2）求斜坡新起点A与原起点B的距离（精确到0.1米）．

20. 难度：中等

京杭运河修建过程中，某村考虑到安全性，决定将运河边一河埠头的台阶进行改造．在如图的台阶横断面中，将坡面AB的坡角由45°减至30°．已知原坡面的长为6m（BD所在地面为水平面）
（1）改造后的台阶坡面会缩短多少？
（2）改造后的台阶高度会降低多少？
（精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）

21. 难度：中等

有一水库大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，EF为水库的水面，点E在DC上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB的长为12米，迎水坡上DE的长为2米，∠BAD=135°，∠ADC=120°，求水深．（精确到0.1米，=1.41，=1.73）

22. 难度：中等

如图，某人在一栋高层建筑顶部C处测得山坡坡脚A处的俯角为60°，又测得山坡上一棵小树树干与坡面交界P处的俯角为45°，已知OA=50米，山坡坡度为（即tan∠PAB=，其中PB⊥AB），且O、A、B在同一条直线上．
（1）求此高层建筑的高度OC；
（2）求坡脚A处到小树树干与坡面交界P处的坡面距离AP的长度．（人的高度及测量仪器高度忽略不计，结果保留根号形式）

23. 难度：中等

如图，某住宅楼进入地下储藏室的坡道AB的长为3.2m，坡角是45°．为改善坡道的安全性，将原坡道AB改建成坡道AC，使BC的长为1.5m，求坡角α的度数．（精确到1°）

24. 难度：中等

安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O，⊙O的半径为0.2m，AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB=2m，求屋面AB的坡度和支架BF的长．
（参考数据：tan18°≈，tan32°≈，tan40°≈）．

25. 难度：中等

如图1是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB=20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m，木板超出车厢部分AD=0.5m，请求出木板CD的长度？
（参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m）

26. 难度：中等

小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）

27. 难度：中等

花园小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高4米的小区商场，商场以上是居民住房．在该楼的前面16米处要盖一栋高18米的办公楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角为35°时，问：
（1）商场以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
（2）若要使商场采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留一位小数）
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）

28. 难度：中等

如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1：，AC=10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米．试求旗杆BC的高度．

29. 难度：中等

如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：=1.4，=1.7，=2.4）．