| 1. 难度：中等 | |
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如图，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸，“4开”纸，“8开”纸，“16开”纸…．已知标准纸的短边长为a． （1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠： 第一步：将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B'处，铺平后得折痕AE； 第二步：将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF． 则AD：AB的值是______ 
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| 2. 难度：中等 | |
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如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点． （1）求证：四边形AECG是平行四边形； （2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长． 
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| 3. 难度：中等 | |
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在矩形ABCD中，AB=14，BC=8，E在线段AB上，F在射线AD上． （1）沿EF翻折，使A落在CD边上的G处（如图1），若DG=4， ①求AF的长； ②求折痕EF的长； （2）若沿EF翻折后，点A总在矩形ABCD的内部，试求AE长的范围． 
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| 4. 难度：中等 | |
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我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形． 现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由． |
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| 5. 难度：中等 | |
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如图，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=117°，△ABC∽△DAC． （1）求AB的长； （2）求CD的长； （3）求∠BAD的大小． 
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| 6. 难度：中等 | |
已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°．当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN= PM．（不需证明）当PC= PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明． |
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| 7. 难度：中等 | |
如图，在平面直角坐标系中，点C（-3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足 +|OA-1|=0．（1）求点A、点B的坐标； （2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 
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| 8. 难度：中等 | |
如图，已知：在⊙O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是 上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD．（1）求证：△ACH∽△AFC； （2）猜想：AH•AF与AE•AB的数量关系，并说明你的猜想； （3）探究：当点E位于何处时，S△AEC：S△BOD=1：4，并加以说明． 
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| 9. 难度：中等 | |
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如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E． （1）求证：△ABF∽△COE； （2）当O为AC的中点，  时，如图2，求 的值；（3）当O为AC边中点，  时，请直接写出 的值．
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| 10. 难度：中等 | |
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如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F． （1）求证：△ACB∽△DCE； （2）求证：EF⊥AB． 
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| 11. 难度：中等 | |
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如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E． （1）∠E=______度； （2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由； （3）求弦DE的长． 
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| 12. 难度：中等 | |
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有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30度． （1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由； （2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数； （3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少？    |
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| 13. 难度：中等 | |
如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE= CD．（1）求证：△ABF∽△CEB； （2）若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积． 
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| 14. 难度：中等 | |
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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC-CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）D，F两点间的距离是______； （2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由； （3）当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值； （4）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值． 
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| 15. 难度：中等 | |
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（1）如图1，已知正方形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，求证：EF=GH； （2）如图2，若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明； （3）如图3，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；  附加题：根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明，若不能，说明理由． |
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| 16. 难度：中等 | |
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如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求BP：PQ：QR． 
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| 17. 难度：中等 | |
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已知：等腰Rt△ABC中，∠A=90°， （1）如图1，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，则有AD∥BC； （2）若将等腰Rt△ABC改为正△ABC，如图2所示，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连接AD，上述结论还成立吗？答______； （3）若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，如图3，E为AB上任一点，△DEC∽△ABC，连接AD，请问AD与BC的位置关系怎样？答：______． 请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明． 
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| 18. 难度：中等 | |
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如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC=EB． （1）求证：△CEB∽△CBD； （2）若CE=3，CB=5，求DE的长． 
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| 19. 难度：中等 | |
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在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角． （1）填空： ①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（______，______）； ②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（  ，90°），得到△ADE，则线段BD的长为______cm；（2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，点O1，O2，O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO1O3与△ABI，△CIB与△CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系．  |
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| 20. 难度：中等 | |
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（北师大版）已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图1摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H． （1）当α=30°时（如图2），求证：AG=DH； （2）当α=60°时（如图3），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； （3）当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由．  |
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| 21. 难度：中等 | |
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如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M． （1）试说明：AE⊥BF； （2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明． 
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| 22. 难度：中等 | |
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把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q． （1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ=______； （2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP•CQ的值是否改变？说明你的理由； （3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用） 
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| 23. 难度：中等 | |
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（1）如图1所示，在等边△ABC中，点D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE∥BC； （2）如图2所示，将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，请问仍有AE∥BC？证明你的结论． 
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| 24. 难度：中等 | |
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操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况． 研究： （1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明； （2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由； （3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．  |
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| 25. 难度：中等 | |
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如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点． （1）求证：△ADE≌△BCF； （2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长． 
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| 26. 难度：中等 | |
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已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G． （1）如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC； （2）如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是______； （3）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是______． 对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明．  |
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| 27. 难度：中等 | |
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已知：如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2． （1）图中哪个三角形与△FAD全等？证明你的结论； （2）探索线段BF、FG、EF之间的关系，并说明理由． 
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| 28. 难度：中等 | |
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操作：如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角板的直角顶点与点P重合（含30度角的直角三角板），并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E． 探究：①观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似，写出你的结论，并说明理由； ②当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比和面积比分别是多少？ 
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| 29. 难度：中等 | |
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如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C． （1）求证：△ABF∽△EAD； （2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长； （3）在（1）（2）的条件下，若AD=3，求BF的长．（计算结果可含根号） 
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