| 1. 难度：中等 | |
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如图，抛物线c1：y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P为线段BC上一点，过点P作直线l⊥x轴于点F，交抛物线c1点E． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值； （3）当PE为最大值时，把抛物线c1向右平移得到抛物线c2，抛物线c2与线段BE交于点M，若直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，则抛物线c1应向右平移几个单位长度可得到抛物线c2？ 
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| 2. 难度：中等 | |
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如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，点D在AC上，CD=3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米． （1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象； （2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长； （3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点0＜OG＜6，过G作EF垂直于x轴，分别交y1、y2的图象于点E、F． ①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义； ②当0＜x＜6时，求线段EF长的最大值． 
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| 3. 难度：中等 | |
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如图，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A，B． （1）求点A，B，C的坐标； （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 
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| 4. 难度：中等 | |
如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在x轴，y轴上，点B坐标为（m， ）（其中m＞0），在BC边上选取适当的点E和点F，将△OCE沿OE翻折，得到△OGE；再将△ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到△AGF，且∠OGA=90度．（1）求m的值； （2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△OPG是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）． 
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| 5. 难度：中等 | |
如图，已知平面直角坐标系xoy中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，AB∥x轴，B（3， ），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，∠OAD=30度．折叠后，点O落在点O1，点C落在线段AB点C1处，并且DO1与DC1在同一直线上．（1）求折痕AD所在直线的解析式； （2）求经过三点O，C1，C的抛物线的解析式； （3）若⊙P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，⊙P与两坐标轴都相切时，求⊙P半径R的值． 
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| 6. 难度：中等 | |
如图，抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P（- ， ），且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．（1）求a值； （2）设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明； （3）设A，B两点的横坐标分别记为xA，xB，若在x轴上有一动点Q（x，0），且xA≤x≤xB，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？ 
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| 7. 难度：中等 | |
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如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F． （1）求证：△ADE∽△BEF； （2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值． 
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| 8. 难度：中等 | |
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如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标； （2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L； （3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使△PDB为等腰三角形的点P有几个？（不必求点P的坐标，只需说明理由） 
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| 9. 难度：中等 | |
如图，在平面直角坐标系内，以y轴为对称轴的抛物线经过直y=- x+2与y轴的交点A和点M（- ，0）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2）将（1）中所求抛物线沿x轴向右平移．①在题目所给的图中画出沿x轴平移后经过原点的抛物线大致图象；②设沿x轴向右平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB相交于C点．判断以O为圆心，OC为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由； （3）P点是沿x轴向右平移后经过原点的抛物线对称轴上的点，求P点的坐标，使得以O，A，C，P四点为顶点的四边形是平行四边形． 
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| 10. 难度：中等 | |
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- x2+bx+c经过A（0，-4）、B（x1，0）、C（x2，0）三点，且x2-x1=5．（1）求b、c的值； （2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形；若不存在，请说明理由． 
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| 11. 难度：中等 | |
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如图1，P1、P2、P3、…、Pn分别是抛物线y=x2与直线y=x、y=2x、y=3x、…、y=kx的交点，连接P1P2、P2P3，…，Pk-1Pk． （1）求△OP1P2的面积，并直接写出△OP2P3的面积； （2）如图2，猜想△OPk-1Pk的面积，并说明理由； （3）若将抛物线y=x2改为抛物线y=ax2，其它条件不变，猜想△OPk-1Pk的面积（直接写出答案）．  |
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| 12. 难度：中等 | |
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已知抛物线M：y=-x2+2mx+n（m，n为常数，且m＞0，n＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线N与抛物线M关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB． 问抛物线M上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由． 说明： （1）如果你反复探索，没有解决问题，请写出探索过程（要求至少写3步）； （2）在你完成（1）之后，可以从①、②中选取一个条件，完成解答（选取①得7分；选取②得10分）． ①n=1；②n=2． 
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| 13. 难度：中等 | |
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如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），它的顶点为M，又正比例函数y=kx的图象于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点． （1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标； （2）已知点E（2，3），且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围； （3）0＜k＜2时，求四边形PCMB的面积s的最小值． 【参考公式：已知两点D（x1，y1），E（x2，y2），则线段DE的中点坐标为  】
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| 14. 难度：中等 | |
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在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示．已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）． （1）求点B的坐标． （2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式． （3）设点B关于抛物线的对称轴ℓ的对称点为Bl，连接AB1，求tan∠AB1B的值． 
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| 15. 难度：中等 | |
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如图，已知直线y=x+8交x轴于A点，交y轴于B点，过A、0两点的抛物线y=ax2+bx（a＜O）的顶点C在直线AB上，以C为圆心，CA的长为半径作⊙C． （1）求抛物线的对称轴、顶点坐标及解析式； （2）将⊙C沿x轴翻折后，得到⊙C′，求证：直线AC是⊙C′的切线； （3）若M点是⊙C的优弧  （不与0、A重合）上的一个动点，P是抛物线上的点，且∠POA=∠AM0，求满足条件的P点的坐标．
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| 16. 难度：中等 | |
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如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）求AD的长； （2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值； （3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由． 
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| 17. 难度：中等 | |
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如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标． 
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| 18. 难度：中等 | |
如图，在平面直角坐标系中，直线y=- x- 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2- x+c（a≠0）经过A，B，C三点．（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 
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| 19. 难度：中等 | |
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如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB，△COD处，直角边OB，OD在x轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至△PEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H． （1）求直线AC所对应的函数关系式； （2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究： ①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？请说明理由； ②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 
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| 20. 难度：中等 | |
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如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4． （1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标； （2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？  |
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| 21. 难度：中等 | |
直线y=- x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，经过A、B两点的抛物线与x轴的另一交点为C，且其对称轴为x=3．（1）求这条抛物线对应的函数关系式； （2）设D（x，y）是抛物线在第一象限内的一个点，点D到直线AB的距离为d、试写出d关于x的函数关系式，这个函数是否有最大值或最小值？如果有，并求这个值和此时点D的坐标；如果没有，说明理由． 
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| 22. 难度：中等 | |
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如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（-9，0） （1）求A，C两点的坐标； （2）求证：直线CD是⊙M的切线； （3）若抛物线y=x2+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式； （4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F．如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得S△PAM：S△CEF=  ：3？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）
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| 23. 难度：中等 | |
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已知：如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点且OC=OB，抛物线y=（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）（m、p为常数且m+2≥2p＞0）经过A、C两点． （1）用m、p分别表示OA、OC的长； （2）当m、p满足什么关系时，△AOB的面积最大． 
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| 24. 难度：中等 | |
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如图，等腰直角三角形纸片ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A（1，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止．设平移时间为t（s），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与△AEF重叠的面积为S． （1）求折痕EF的长； （2）是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线y=x2+4x+3的顶点？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； （3）直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围． 
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| 25. 难度：中等 | |
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已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在，说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标； （3）根据（2）小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系？ 
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| 26. 难度：中等 | |
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△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts． （1）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）； （2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由； （3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 
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| 27. 难度：中等 | |
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已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，-3），与x轴交于A，B两点，A（-1，0）． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断  是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断  是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
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| 28. 难度：中等 | |
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如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（-1，0），将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90度，得矩形OA′B′C′矩形设直线BB’与x轴交于点M，与y轴交于点N，抛物线经过点C，M，N点． 解答下列问题： （1）设直线BB′表示的函数解析式为y=mx+n，求m，n； （2）求抛物线表示的二次函数的解析式； （3）在抛物线上求出使S△PB‘C‘=S矩形OABC的所有点P的坐标． 
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| 29. 难度：中等 | |
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如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）． （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标； （2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ 
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| 30. 难度：中等 | |
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如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-2）2-1图象的顶点为P，与x轴交点为A、B，与y轴交点为C，连接BP并延长交y轴于点D． （1）写出点P的坐标； （2）连接AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BC、AC、AD，点E（0，b）在线段CD（端点C、D除外）上，将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S，选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时，重叠部分的面积最大写出最大值． 
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