第21章《解直角三角形》中考题集（11）：21.2 特殊角的三角函数值（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

阅读以下材料：
对于三个数a、b、c，用M（a，b，c）表示这三个数的平均数，用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数．例如：M{-1，2，3}=；min{-1，2，3}=-1；min{-1，2，a}=a（a≤-1）；-1（a＞-1）
解决下列问题：
（1）填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}=______，如果min{2，2x+2，4-2x}=2，则x的取值范围为______≤x≤______；
（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x．
②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么______（填a，b，c的大小关系）”，
证明你发现的结论．
③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，2x-y}，则x+y=______；
（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=（x+1）²，y=2-x的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：min{x+1，（x-1）²，2-x}的最大值为______．

2. 难度：中等

某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3，6，9，12标在所在边的中点上，如图所示．
（1）当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度？
（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；
（3）请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字（说明：要画出必要的、反映解题思路的辅助线）；
（4）问长方形的长应为多少？

3. 难度：中等

如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D₁，E₁，F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₁=CF₁=AB，连接D₁E₁，E₁F₁，F₁D₁，可得△D₁E₁F₁．
（1）用S表示△AD₁F₁的面积S₁=，△D₁E₁F₁的面积S₁′=；
（2）当D₂，E₂，F₂分别是等边△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=AB时，如图②，求△AD₂F₂的面积S₂和△D₂E₂F₂的面积S₂′；
（3）按照上述思路探索下去，当D_n，E_n，F_n分别是等边△ABC三边上的点，且AD_n=BE_n=CF_n=AB时（n为正整数），求△AD_nF_n的面积S_n，△D_nE_nF_n的面积S_n′．

4. 难度：中等

附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=．我们不难发现：sin²60°+cos²60°=1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．

5. 难度：中等

如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．

6. 难度：中等

计算（π-）+（）^-1-

7. 难度：中等

（1）计算：（-2）²+tan45°+2010
（2）在2x²y，-2xy²，3x²y，-xy四个代数式中，找出两个同类项，并合并这两个同类项．

8. 难度：中等

计算化简：
（1）；
（2）．

9. 难度：中等

计算：．

10. 难度：中等

（1）计算：|-1|+-tan45°
（2）化简：-+

11. 难度：中等

（1）计算：（-1）²+tan60°-（π+2010）
（2）因式分【解析】
m²-4m．

12. 难度：中等

（1）（-2010）+-2sin60°．
（2）已知x²-2x=1，求（x-1）（3x+1）-（x+1）²的值．

13. 难度：中等

（1）︳-3|-2cos30°--2^-2+（3-π）
（2）先化简，再求值．，其中x=3

14. 难度：中等

计算：2sin45°+（π-3.14）++（-1）³．

15. 难度：中等

计算：4+（-1）²⁰¹⁰-tan45°

16. 难度：中等

（1）计算：°+
（2）先化简，再求值：•，其中x=-3．

17. 难度：中等

计算：|-3|+4sin30°-2²+（-1）．

18. 难度：中等

（1）计算：
（2）解方程组：

19. 难度：中等

（1）计算：（-2010）+（sin60°）^-1-|tan30°-|+；
（2）先化简：，若结果等于，求出相应x的值．

20. 难度：中等

计算：+-4cos30°

21. 难度：中等

（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中a=+1．

22. 难度：中等

（1）计算：-4sin60°+（4-π）
（2）解不等式组：
（3）解分式方程：+2=

23. 难度：中等

计算：|-2|-（）^-1+（π-3.14）+×cos45°

24. 难度：中等

（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a=-．

25. 难度：中等

计算：．

26. 难度：中等

（1）计算：2^-1+（-1）+sin30°；
（2）先化简，再求值：，其中x=-1．

27. 难度：中等

（1）计算：（-2）²+tan45°-2cos60°；
（2）解方程：x²-2x-2=0．

28. 难度：中等

计算：|-|+（-）^-1sin45°+（．

29. 难度：中等

计算：4cos30°-|-2|+（）-+（-）^-2．

30. 难度：中等

（1）计算：（-1）²⁰⁰⁹×（-）^-2+（-π）+|1-sin60°|；
（2）解方程组．