第5章《反比例函数》常考题集（16）：3、反比例函数的应用（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）s（mm²）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出y与s的函数关系式；
（2）求当面条粗1.6mm²时，面条的总长度是多少米？

2. 难度：中等

在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（pa）是它的受力面积Sm²的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求P与S之间的函数关系式；
（2）求当S=0.5m²时物体承受的压强P．

3. 难度：中等

某气球内充满了一定质量的气球，当温度不变时，气球内气球的气压p（千帕）是气球的体积V（米²）的反比例函数，其图象如图所示．（千帕是一种压强单位）
（1）写出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？

4. 难度：中等

某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现，此商品的日销售单价x（单位：元）与日销售数量y（单位：张）之间有如下关系：

销售单价x（元）	3	4	5	6
日销售量y（元）	20	15	12	10

（1）根据表中数据在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；
（2）确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
（3）设销售此贺卡的日纯利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式．若物价局规定该贺卡售价最高不超过10元/张，请你求出日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？

5. 难度：中等

某蓄水池的排水管每小时排水8m³，6h可将满池水全部排空．
（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m³），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？
（3）写出t与Q之间的关系式．
（4）如果准备在5h内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？
（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m³，那么最少多长时间可将满池水全部排空？

6. 难度：中等

一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m³）是它的体积V（m³）的反比例函数，当V=10m³时，ρ=1.43kg/m³．（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V=2m³时求氧气的密度ρ．

7. 难度：中等

在某一电路中，保持电压不变，电流I（安培）与电阻R（欧姆）成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培．
（1）求I与R之间的函数关系式；（2）当电流I=0.5安培时，求电阻R的值．

8. 难度：中等

某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m³）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出这一函数的表达式．
（2）当气体体积为1 m³时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不大于多少？

9. 难度：中等

蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（欧姆）之间的函数关系如图所示：写出这个函数的表达式．

10. 难度：中等

红星粮库需要把晾晒场上的1200吨玉米入库封存．
（1）入库所需时间t（天）与入库速度y（吨/天）有什么样的函数关系？
（2）粮库有职工60名，每天最多可入库300吨玉米，预计玉米入库最快可在几日内完成？
（3）粮库的职工连续工作了两天后，天气预报说未来的几天很可能会下雨，粮库决定次日把剩余的玉米全部入库，需要增加多少人帮忙才能完成任务？

11. 难度：中等

舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼，这样的效果是通过改变电阻来控制电流的变化实现的．因为当电流I较小时，灯泡较暗；反之，当电流I较大时，灯光较亮．在某一舞台的电路中，保持电压不变，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，当电阻R=20Ω时，电流I=11A．
（1）求电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系式；
（2）当舞台线路所承受的电流不超过10A时，那么电阻R至少应该是多少？

12. 难度：中等

在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m³）是体积v（单位：m³）的反比例函数，它的图象如图所示．
（1）求ρ与v之间的函数关系式并写出自变量v的取值范围；
（2）求当v=10m³时气体的密度ρ．

13. 难度：中等

为了预防“甲型H₁N₁”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？

14. 难度：中等

某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压p（kpa）与气体体积v（m³）成反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于140kpa时，气球将会爆炸，为了安全起见，请你求出气体体积的范围．

15. 难度：中等

某空调厂的装配车间计划组装9000台空调：
（1）从组装空调开始，每天组装的台数m（单位：台/天）与生产时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系？
（2）原计划用2个月时间，（每月以30天计算）完成，由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天上市，那么原装配车间每天至少要组装多少空调？

16. 难度：中等

李先生参加了清华同方电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为1.2万元，交了首付之后每月付款y元，x月结清余款．y与x的函数关系如图所示，试根据图象提供的信息回答下列问题．
（1）确定y与x的函数关系式，并求出首付款的数目；
（2）李先生若用4个月结清余款，每月应付多少元？
（3）如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？

17. 难度：中等

市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为10⁶m³，某运输公司承办了该项工程运送土石方的任务．
（1）运输公司平均每天的工作量v（m³/天）与完成运送任务所需的时间t（天）之间有怎样的函数关系；
（2）这个运输公司共有100辆卡车，每天一共可运送土石方10⁴m³，则公司完成全部运输任务需要多长时间？
（3）当公司以问题（2）中的速度工作了40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，公司至少需要再增加多少辆卡车才能按时完成任务？

18. 难度：中等

附加题：已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．

19. 难度：中等

如图，在直角坐标平面内，函数（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求证：DC∥AB；
（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．

20. 难度：中等

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（-3，1），B（2，n）两点，直线AB分交x轴、y轴于D，C两点．
（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的值．

21. 难度：中等

如图，点P是双曲线（k₁＜0，x＜0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=（0＜k₂＜|k₁|）于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S₁=______（用含k₁、k₂的式子表示）；
（2）图2中，设P点坐标为（-4，3）．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记S₂=S_△PEF-S_△OEF，S₂是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．

22. 难度：中等

如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C．如果四边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式．

23. 难度：中等

已知正比例函数y=k₁x（k₁≠0）与反比例函数y=（k₂≠0）的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，1）
（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标．

24. 难度：中等

如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），点B（-2，n），一次函数图象与y轴的交点为C．
（1）求一次函数解析式；
（2）求C点的坐标；
（3）求△AOC的面积．

25. 难度：中等

如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=-x+的图象交于A、B两点，点C的坐标为（1，），连接AC，AC平行于y轴．
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A、B之间的部分滑动（不与A、B重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段AB交于M、N两点，试判断P点在滑动过程中△PMN是否与△CAB总相似，简要说明判断理由．

26. 难度：中等

如图，已知反比例函数y=的图象经过点A（1，-3），一次函数y=kx+b的图象经过点A与点C（0，-4），且与反比例函数的图象相交于另一点B．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求点B的坐标．

27. 难度：中等

如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

28. 难度：中等

已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为（），点B的坐标为（-6，0）．
（1）若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形OA′B′，请直接写出A、B的对称点A′、B′的坐标；
（2）若将三角形OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数y=的图象上，求a的值；
（3）若三角形OAB绕点O按逆时针方向旋转α度（0＜α＜90）．
①当α=30°时点B恰好落在反比例函数y=的图象上，求k的值；
②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，求出α的值；若不能，请说明理由．

29. 难度：中等

阅读理【解析】

对于任意正实数a，b，∵≥0，∴a-+b≥0，∴a+b≥2，只有点a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥，只有当a=b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=______时，m+有最小值______；
（2）思考验证：
①如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点，（与点A，B不重合）．过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．试根据图形验证a+b≥，并指出等号成立时的条件；
②探索应用：如图2，已知A（-3，0），B（0，-4）P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PO⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

30. 难度：中等

已知反比例函数y=的图象与一次函数y=x+m的图象相交于点（1，-3）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标．