第5章《反比例函数》常考题集（18）：3、反比例函数的应用（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求B点的坐标；
（2）若S_△AOB=2，求A点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．

2. 难度：中等

如图，反比例函数（x＞0）与一次函数y₂=kx+b的图象相交于A、B两点，已知当y₂＞y₁时，x的取值范围是1＜x＜3．
（1）求k、b的值；
（2）求△AOB的面积．

3. 难度：中等

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（-3，1），B（2，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OA，OB求三角形OAB的面积．

4. 难度：中等

如图：P是反比例函数y=（k＞0）图象在第一象限上的一个动点，过P作x轴的垂线，垂足为M，已知△POM的面积为2．
（1）求k的值；
（2）若直线y=x与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点A，求过点A和点B（0，-2）的直线表达式；
（3）过A作AC⊥y轴于点C，若△ABC与△POM相似，求点P的坐标．

5. 难度：中等

一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）“E”图案的面积是多少？
（3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围．

6. 难度：中等

已知直线y=-x+6和反比例函数y=（k≠0）．
（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点？
（2）设（1）的两个公共点分别为A、B，∠AOB是锐角还是钝角？

7. 难度：中等

已知反比例函数和一次函数y=kx-1的图象都经过点P（m，-3m）．
（1）求点P的坐标和这个一次函数的解析式；
（2）若点M（a，y₁）和点N（a+1，y₂）都在这个一次函数的图象上．试通过计算或利用一次函数的性质，说明y₁大于y₂．

8. 难度：中等

点P是x轴正半轴的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线于点A，连接OA．
（1）如图甲，当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？若不变，请求出Rt△AOP的面积；若改变，试说明理由；
（2）如图乙，在x轴上的点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接BO交AP于点C，设△AOP的面积是S₁，梯形BCPD的面积为S₂，则S₁与S₂的大小关系是S_{1______}S₂（选填“＞”、“＜”、“=”）；
（3）如图丙，AO的延长线与双曲线的另一个交点为F，FH垂直于x轴，垂足为点H，连接AH，PF，试证明四边形APFH的面积为一个常数．

9. 难度：中等

己知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥y轴于C，AD=1，BC=4，tan∠ABC=．反比例函数y=的图象过顶点A、B．
（1）求k的值；
（2）作BH⊥x轴于H，求五边形ABHOD的面积．

10. 难度：中等

如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=kx+4的图象相交于P、Q两点，并且P点的纵坐标是6．
（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△POQ的面积．

11. 难度：中等

已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的图象与AC边交于点E．
（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
（2）记S=S_△OEF-S_△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

12. 难度：中等

已知反比例函数图象过第二象限内的点A（-2，m），AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3，若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，-），
（1）求反比例函数的解析式和直线y=ax+b解析式；
﹙2﹚求△AOC的面积；
（3）在坐标轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．

13. 难度：中等

如图，已知反比例函数y=的图象经过点A（1，-3），一次函数y=kx+b的图象经过点A与点C（0，-4），且与反比例函数的图象相交于另一点B（3，n）．
（1）试确定这两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图形直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围．