| 1. 难度：中等 | |
在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N． （1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN： ①求证：△ABN≌△ADN； ②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值． （2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形． |
|
| 2. 难度：中等 | |
学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长 cm，其一个内角为60度．（1）若d=26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L； （2）当d=20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？  |
|
| 3. 难度：中等 | |
|
如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由； （3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围． 
|
|
| 4. 难度：中等 | |
|
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF． （1）求证：四边形BCEF是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=130°，求菱形BCEF的面积．（结果保留三个有效数字） 
|
|
| 5. 难度：中等 | |
|
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB、CD于点E、F，连接CE、AF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若EF=4，tan∠OAE=  ，求四边形AECF的面积．
|
|
| 6. 难度：中等 | |
|
已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE、CE，∠BEC=90°． （1）求证：BE平分∠ABC； （2）若EC=4，且  ，求四边形ABCE的面积．
|
|
| 7. 难度：中等 | |
|
如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE． （1）求证：△ABE≌△DFA； （2）如果AD=10，AB=6，求sin∠EDF的值． 
|
|
| 8. 难度：中等 | |||||||||||||||||||||||||
|
如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点E，F分别在线段AB，AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为α（当点E，F分别与B，A重合时，记α=0°）． （1）当α=0°时（如图2所示），求x，y的值（结果保留根号）； （2）当α为何值时，点G落在对角形AC上？请说出你的理由，并求出此时x，y的值（结果保留根号）； （3）请你补充完成下表（精确到0.01）：
（参考数据：  ≈1.732，sin15°= ≈0.259，sin75°= ≈0.966）  |
|||||||||||||||||||||||||
| 9. 难度：中等 | |
|
已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP． （1）求证：△CPB≌△AEB； （2）求证：PB⊥BE； （3）若PA：PB=1：2，∠APB=135°，求cos∠PAE的值． 
|
|
| 10. 难度：中等 | |
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C=60°，AD=4，BC=6，求AB的长．
|
|
| 11. 难度：中等 | |
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4．求∠B的度数及AC的长．
|
|
| 12. 难度：中等 | |
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．
|
|
| 13. 难度：中等 | |
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于E，AE=1．求梯形ABCD的高．
|
|
| 14. 难度：中等 | |
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，tanC= ．（1）求点D到BC边的距离； （2）求点B到CD边的距离． 
|
|
| 15. 难度：中等 | |
|
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AB=2，AD=1.6，CD=3． （1）求BD，BC的长； （2）画出△BCD的外接圆（不写画法，保留作图痕迹），并指出AD是否为该圆的切线； （3）计算tanC的值． 
|
|
| 16. 难度：中等 | |
|
如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）．设P、Q同时出发并运动了t秒． （1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值； （2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由． 
|
|
| 17. 难度：中等 | |
|
如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F． （1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=______°，猜想∠QFC=______°； （2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明； （3）已知线段AB=2  ，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．
|
|
| 18. 难度：中等 | |
 如图，点E，C在BF上，BE=FC，∠ABC=∠DEF=45°，∠A=∠D=90°．（1）求证：AB=DE； （2）若AC交DE于M，且AB=  ，ME= ，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数． |
|
| 19. 难度：中等 | |
|
如图，在直角坐标系中，已知点M的坐标为（1，0），将线段OM绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M⊥OM，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，OMn （1）写出点M5的坐标； （2）求△M5OM6的周长； （3）我们规定：把点Mn（xn，yn）（n=0，1，2，3…）的横坐标xn，纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Mn的“绝对坐标”．根据图中点Mn的分布规律，请你猜想点Mn的“绝对坐标”，并写出来． 
|
|
| 20. 难度：中等 | |
|
如图，把正方形ACFG与Rt△ACB按如图（甲）所示重叠在一起，其中AC=2，∠BAC=60°，若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转，使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F，得△A′B′C′，A B分别与A′C，A′B′相交于D、E，如图（乙）所示． ①△ACB至少旋转多少度才能得到△A′B′C′？说明理由； ②求△ACB与△A′B′C′的重叠部分（即四边形CDEF）的面积（若取近似值，则精确到0.1）？  |
|
| 21. 难度：中等 | |
|
如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ． 
|
|
| 22. 难度：中等 | |
将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连接CD． （1）填空：如图1，AC=______ |
|
| 23. 难度：中等 | |
|
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P． （1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长； （2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值； （3）若tan∠BPD=  ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．
|
|
| 24. 难度：中等 | |
|
如图，等边△ABC的边长为12cm，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=4cm，若点F从点B开始以2cm/s的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O． （1）设△EGA的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （2）在点F运动过程中，试猜想△GFH的面积是否改变？若不变，求其值；若改变，请说明理由； （3）请直接写出t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点． 
|
|
| 25. 难度：中等 | |
|
如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE； （1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （2）当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M． ①求证：AG⊥CH； ②当AD=4，DG=  时，求CH的长． |
|
| 26. 难度：中等 | |
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=3 ，CD=7，点P是BC边上的一动点（不与点B重合），过点D作DE⊥AP，垂足为E．（1）求AB的长； （2）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； （3）延长DE交AB于点F，连接PF，当△ADE为等腰直角三角形时，求sin∠FPA的值． 
|
|
| 27. 难度：中等 | |
要在宽为28m的海堤公路的路边安装路灯，路灯的灯臂长为3m，且与灯柱成120°（如图所示），路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直．当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想．问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果（精确到0.01m， ≈1.732）．
|
|
| 28. 难度：中等 | |
将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB= ，P是AC上的一个动点．（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长； （2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数； （3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时▱DPBQ的面积． 
|
|
| 29. 难度：中等 | |
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ．点D为BC边上一点，且BD=2AD，∠ADC=60°，求△ABC的周长（结果保留根号）．
|
|
| 30. 难度：中等 | |
|
我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题、请你参考小明的思路解答下列问题： （1）当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由； （2）当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出  的值（用含α的三角函数表示）． |
|
