第1章《解直角三角形》中考题集（22）：1.4 解直角三角形（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知，在△ABC中，∠A=45°，AC=，AB=+1，则边BC的长为______．

2. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD．
（1）求sin∠DBC的值；
（2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积．

3. 难度：中等

在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=3．
（1）求AC的长；
（2）求BC的长．

4. 难度：中等

如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．
（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；
（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．

5. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB₁∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB₁于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t＞时，连接C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②当线段A′C′与射线BB′，有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．

6. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．
（1）在△ABC中，AB=______；
（2）当x=______时，矩形PMCN的周长是14；
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明．

7. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=，点E在AB上，∠AED=45°，DE=6，CE=7．求：AE的长及sin∠BCE的值．

8. 难度：中等

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．
（1）证明：EF=CF；
（2）当tan∠ADE=时，求EF的长．

9. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）当MN∥AB时，求t的值；
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

10. 难度：中等

（1）计算：+（-3）
（2）如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=．求线段AD的长．

11. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的角平分线，与BC相交于点D，且AB=4，求AD的长．

12. 难度：中等

已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM．
（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE=MD；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：______．
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=，求tan∠ACP的值．

13. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向，在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

14. 难度：中等

如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边长为5的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上．点C、D同时从点O出发，点C以1单位长/秒的速度向点A运动，点D为2个单位长/秒的速度沿折线OBA运动．设运动时间为t秒，0＜t＜5．
（1）当0＜t＜时，证明DC⊥OA；
（2）若△OCD的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）以点C为中心，将CD所在的直线顺时针旋转60°交AB边于点E，若以O、C、D、E为顶点的四边形是梯形，求点E的坐标．

15. 难度：中等

已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．
（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；
（2）在图1中，连接AP．当AD=，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S_△APQ表示△APQ的面积，S_△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．

16. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=8，∠B=60°，BC=12，连接AC．
（1）求tan∠ACB的值；
（2）若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．

17. 难度：中等

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F两点．

（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA₁与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当α=30°时，试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长．

18. 难度：中等

如图，∠MON=25°，矩形ABCD的对角线AC⊥ON，边BC在OM上，当AC=3时，AD长是多少？（结果精确到0.01）

19. 难度：中等

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）用签字笔画AD∥BC（D为格点），连接CD；
（2）线段CD的长为______；
（3）请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是______，则它所对应的正弦函数值是______；
（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是______．

20. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cosA=．
求（1）DE、CD的长；（2）tan∠DBC的值．

21. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=，BC=26．
求：（1）cos∠DAC的值；
（2）线段AD的长．

22. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=15，求△ABC的周长和tanA的值．

23. 难度：中等

已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=______AC；
②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=______AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．

24. 难度：中等

附加题：由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，得S_△ABC=bc•sin∠A①，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．
如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β∵S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC，由公式①，得AC•BC•sin（α+β）=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ，即AC•BC•sin（α+β）=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ②
你能利用直角三角形边角关系，消去②中的AC、BC、CD吗？不能，说明理由；能，写出解决过程．

25. 难度：中等

已知，如图：△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=10，D为△ABC外一点，连接AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E．
（1）若△ABD是等边三角形，求DE的长；
（2）若BD=AB，且tan∠HDB=，求DE的长．

26. 难度：中等

已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=6，求BC的长．（结果保留根号）

27. 难度：中等

在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．如图所示，过C作CD⊥AB于D，则cosA=，
即AD=bcosA．
∴BD=c-AD=c-bcosA
在Rt△ADC和Rt△BDC中有CD²=AC²-AD²=BC²-BD²
∴b²-b²cos²A=a²-（c-bcosA）²
整理得：a²=b²+c²-2bccosA
同理可得：b²=a²+c²-2accosB
c²=a²+b²-2abcosC
这个结论就是著名的余弦定理，在以上三个等式中有六个元素a，b，c，∠A，∠B，∠C，若已知其中的任意三个元素，可求出其余的另外三个元素．
如：在锐角△ABC中，已知∠A=60°，b=3，c=6，
则由（1）式可得：a²=3²+6²-2×3×6cos60°=27
∴a=3，∠B，∠C则可由式子（2）、（3）分别求出，在此略．
根据以上阅读理解，请你试着解决如下问题：
已知锐角△ABC的三边a，b，c分别是7，8，9，求∠A，∠B，∠C的度数．（保留整数）

28. 难度：中等

已知：如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，BD＞AD，∠A=∠ACD，
（1）若∠A=∠B=30°，BD=，求CB的长；
（2）过D作∠CDB的平分线DF交CB于F，若线段AC沿着AB方向平移，当点A移到点D时，判断线段AC的中点E能否移到DF上，并说明理由．

29. 难度：中等

如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求证：AC=BD；
（2）若sin∠C=，BC=12，求AD的长．