第2章《二次函数》中考题集（52）：2.8 二次函数的应用（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．
（1）点P在BC上运动的过程中y的最大值为______cm；
（2）当y=cm时，求x的值为______

2. 难度：中等

为了参加市科技节展览，同学们制造了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架．在画设计图时，如果在直角坐标系中，抛物线的函数解析式为y=-x²+c，正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长之比为5：1，求：
（1）抛物线解析式中常数c的值；
（2）正方形MNPQ的边长．

3. 难度：中等

如图所示，在平面直角坐标系中，过坐标原点O的圆M分别交x轴、y轴于点A（6，0）、B（0，-8）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若有一条抛物线的对称轴平行于y轴且经过M点，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线与x轴交于D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）两点，且x₁＜x₂，在抛物线上是否存在点P，使△PDE的面积是△ABC面积的？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

4. 难度：中等

已知抛物线y=x²-mx+m-2．
（1）求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）若m是整数，抛物线y=x²-mx+m-2与x轴交于整数点，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若m为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．

5. 难度：中等

已知：直线y=2x+6与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线y=-x²+bx+c经过点A、C，点B是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的解析式及B的坐标；
（2）设点P是直线AC上一点，且S_△ABP：S_△BPC=1：3，求点P的坐标；
（3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

6. 难度：中等

已知平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y=x²+上，过A作AB⊥x轴于点B，AD⊥y轴于点D，将矩形ABOD沿对角线BD折叠后得A的对应点为A′，重叠部分（阴影）为△BDC．
（1）求证：△BDC是等腰三角形；
（2）如果A点的坐标是（1，m），求△BDC的面积；
（3）在（2）的条件下，求直线BC的解析式，并判断点A′是否落在已知的抛物线上？请说明理由．

7. 难度：中等

如图，某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD，其中AB∥DC，∠B=90°，AB=100m，BC=80m，CD=40m，现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼PMBN，其中点P在线段AD上，且PM的长至少为36m．
（1）求边AD的长；
（2）设PA=x（m），求S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）若S=3300m²，求PA的长．（精确到0.1m）

8. 难度：中等

已知：抛物线y=x²-2x-m（m＞0）与y轴交于点C，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点．
（1）求C点，C′点的坐标（可用含m的代数式表示）；
（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C，C′，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P点的坐标（可用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长．

9. 难度：中等

如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）（x＜0），连接BP，过P点作PC⊥PB交过点A的直线a于点C（2，y）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标．

10. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，半径分别为3和的⊙O₁和⊙O₂外切于原点O，在x轴上方的两圆的外公切线AB与⊙O₁和⊙O₂分别切于点A、B，直线AB交y轴于点C．O₂D⊥O₁A于点D．
（1）求∠O₁O₂D的度数；
（2）求点C的坐标；
（3）求经过O₁、C、O₂三点的抛物线的解析式；
（4）在抛物线上是否存在点P，使△PO₁O₂为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11. 难度：中等

已知A₁、A₂、A₃是抛物线y=x²上的三点，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分别垂直于x轴，垂足为B₁、B₂、B₃，直线A₂B₂交线段A₁A₃于点C．
（1）如图，若A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1，2，3，求线段CA₂的长；
（2）如图，若将抛物线y=x²改为抛物线y=x²-x+1，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线y=x²改为抛物线y=ax²+bx+c，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA₂的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．

12. 难度：中等

如图，抛物线y=-x²+（m+2）x-3（m-1）交x轴于点A、B（A在B的右边），直线y=（m+1）x-3经过点A．若m＜1．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）直线y=kx（k＜0）交直线y=（m+1）x-3于点P，交抛物线y=-x²+（m+2）x-3（m-1）于点M，过M点作x轴垂线，垂足为D，交直线y=（m+1）x-3于点N．问：△PMN能否为等腰三角形？若能，求k的值；若不能，请说明理由．

13. 难度：中等

附加题：若抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）经过点C（2，3），与x轴交于点M、N，且∠MCN=90°，求a的值．

14. 难度：中等

附加题：如图1，菱形纸片ABCD中，AB=1，∠B=60°，将纸片翻折（如图2），使D点落在AD所在直线上，并可在直线AD上运动，折痕为EF．当＜DE＜1时，设AB与DC相交于点G（如图）．
（1）线段AD与DG相等吗？△ADG与△BCG的面积之和是否随着DE的变化而变化？为什么？
（2）设AD=x，重叠部分（图3中阴影部分）的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围以及面积y的取值范围．

15. 难度：中等

如图所示，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，使点A落在抛物线y=ax²（a＜0）的图象上．
（1）求抛物线y=ax²的函数关系式；
（2）正方形OABC继续按顺时针旋转多少度时，点A再次落在抛物线y=ax²的图象上并求这个点的坐标．
（参考数据：sin30°=，cos30°=，tan30°=．）

16. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（0，1），C（2，）．
（Ⅰ）直线l：y=kx+b过A、B两点，求k、b的值；
（Ⅱ）求过A、B、C三点的抛物线Q的解析式；
（Ⅲ）设（Ⅱ）中的抛物线Q的对称轴与x轴相交于点E，那么在对称轴上是否存在点F，使⊙F与直线l和x轴同时相切？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

17. 难度：中等

如图，抛物线y=-x²+（6-）x+m-3与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（x₁＜x₂），交y轴于C点，且x₁+x₂=0．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标及对称轴方程．
（2）在抛物线上是否存在一点P使△PBC≌△OBC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线y=ax²+bx+c经过O、A两点．
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA=∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知一次函数y₁=x，二次函数y₂=x²+
（1）根据表中给出的x的值，填写表中空白处的值；

（2）观察上述表格中的数据，对于x的同一个值，判断y₁和y₂的大小关系．并证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁和y₂的大小关系仍然成立；
（3）若把y=x换成与它平行的直线y=x+k（k为任意非零实数），请进一步探索：当k满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？当k满足什么条件时，（2）中的结论不能对任意的实数x都成立？并确定使（2）中的结论不成立的x的范围．

20. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PE∥AB；
（2）设△PEQ的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S_△PEQ=S_△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．

21. 难度：中等

如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，E是边AB上一动点，过点E作EF⊥AB交AD的延长线于点F，交BD于点M．
（1）请判断△DMF的形状，并说明理由．
（2）设EB=x，△DMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式．并写出x的取值范围．

22. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．
（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．

23. 难度：中等

如图1，在梯形ABCD中，AB=BC=10cm，CD=6cm，∠C=∠D=90°．
（1）如图2，动点P、Q同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为y₁（cm²），求y₁（cm²）关于t（秒）的函数关系式；
（2）如图3，动点P以每秒1cm的速度从点B出发沿BA运动，点E在线段CD上随之运动，且PC=PE．设点P从点B出发t秒时，四边形PADE的面积为y₂（cm²），求y₂（cm²）关于t（秒）的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

24. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米．
（1）当t=4时，求S的值；
（2）当4≤t≤10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

25. 难度：中等

如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30度．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．
（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围．
（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．

26. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中：
①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；
②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

27. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
（1）当x=0时，折痕EF的长为______；当点E与点A重合时，折痕EF的长为______

28. 难度：中等

如图，在直线l上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD=6cm；在△ABC中：∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm；在直角梯形DEFG中：EF∥DG，∠DGF=90°，DG=6cm，DE=4cm，∠EDG=60度．解答下列问题：

（1）旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，请你在图中作出旋转后的对应图形△A₁B₁C，并求出AB₁的长度；
（2）翻折：将△A₁B₁C沿过点B₁且与直线l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形△A₂B₁C₁，试判定四边形A₂B₁DE的形状并说明理由；
（3）平移：将△A₂B₁C₁沿直线l向右平移至△A₃B₂C₂，若设平移的距离为x，△A₃B₂C₂与直角梯形重叠部分的面积为y，当y等于△ABC面积的一半时，x的值是多少．

29. 难度：中等

如图，直线y=-3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△DOC，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点．
（1）填空：A（______，______）、B（______，______）、C（______，______）；
（2）求抛物线的函数关系式；
（3）E为抛物线的顶点，在线段DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

30. 难度：中等

如图，△ABC中AB=AC，BC=6，点D位BC中点，连接AD，AD=4，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由．
（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A’D’C’E’与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围．