第2章《二次函数》常考题集（10）：2.4 二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

抛物线y=x²+x-4与y轴的交点坐标为    ．

2. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点（1，2）与（-1，4），则a+c的值是    ．

3. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+x+c与x轴交点的横坐标为1，则a+c的值为    ．

4. 难度：中等

若点P（1，a）和Q（-1，b）都在抛物线y=-x²+1上，则线段PQ的长是    ．

5. 难度：中等

已知抛物线y=x²+x+b²经过点（a，-）和（-a，y₁），则y₁的值是    ．

6. 难度：中等

若二次函数y=mx²-3x+2m-m²的图象经过原点，则m=    ．

7. 难度：中等

小莉与小明一起用A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P（x，y），那么他们各掷一次所确定的点P（x，y）落在已知抛物线y=-x²+3x上的概率为    ．

8. 难度：中等

抛物线y=ax²+x+2经过点（-1，0），则a=    ．

9. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+2x-1经过点（1，0），则a=    ．

10. 难度：中等

抛物线y=ax²经过点（3，5），则a=    ．

11. 难度：中等

已知抛物线y=x²-2x-3，若点P（-2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是    ．

12. 难度：中等

将抛物线y=-3x²向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是    ．

13. 难度：中等

将抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线y=-2x²-4x+5，则原抛物线的顶点坐标是    ．

14. 难度：中等

将抛物线y=2（x+1）²-3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为    ．

15. 难度：中等

如果将二次函数y=2x²的图象沿y轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是    ．

16. 难度：中等

如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=x²+1、y=x²-1所截．当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为    平方单位．

17. 难度：中等

把抛物线y=-x²向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是     ．

18. 难度：中等

当x=    时，二次函数y=x²+2x-2有最小值．

19. 难度：中等

若实数a，b满足a+b²=1，则2a²+7b²的最小值是    ．

20. 难度：中等

如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D在BC上运动（不与B、C重合），过D点分别向AB、AC作垂线，垂足分别为E、F，则矩形AEDF的面积的最大值为    ．

21. 难度：中等

二次函数y=x²-2x-3的最小值是    ．

22. 难度：中等

二次函数y=（x-1）²+2的最小值是    ．

23. 难度：中等

函数y=9-4x²，当x=    时有最大值    ．

24. 难度：中等

已知二次函数y=（x-1）²+（x-3）²，当x=    时，函数达到最小值．

25. 难度：中等

二次函数y=（x-1）²+4的最小值是    ．

26. 难度：中等

二次函数y=x²-4x+5的最小值为    ．

二、解答题

27. 难度：中等

阅读以下材料：
对于三个数a、b、c，用M（a，b，c）表示这三个数的平均数，用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数．例如：M{-1，2，3}=；min{-1，2，3}=-1；min{-1，2，a}=a（a≤-1）；-1（a＞-1）
解决下列问题：
（1）填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}=______，如果min{2，2x+2，4-2x}=2，则x的取值范围为______≤x≤______；
（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x．
②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么______（填a，b，c的大小关系）”，
证明你发现的结论．
③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，2x-y}，则x+y=______；
（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=（x+1）²，y=2-x的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：min{x+1，（x-1）²，2-x}的最大值为______．

28. 难度：中等

抛物线y=-x²+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）点．
（1）求出m的值并画出这条抛物线；
（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？
（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？

29. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx经过点A（-3，-3）和点P（t，0），且t≠0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；
（2）若t=-4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．