| 1. 难度：中等 | |
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如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若  = ，求 的值．
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| 2. 难度：中等 | |
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在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D，DE⊥DB交AB于点E． （1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线； （2）设⊙O交BC于点F，连接EF，求  的值．
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| 3. 难度：中等 | |
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如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC=∠A，OC⊥BD于点E． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BD=12，EC=10，求AD的长． 
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| 4. 难度：中等 | |
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如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH的中点，连接AE并延长交BD于F，直线CF交直线AB于点G． （1）求证：点F是BD的中点； （2）求证：CG是⊙O的切线． 
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| 5. 难度：中等 | |
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如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE． （1）求证：DE与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为  ，DE=3，求AE．
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| 6. 难度：中等 | |
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC=30°，在AB的延长线上取一点P，连接PC．当PB= AB时，求证：PC是⊙O的切线．
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| 7. 难度：中等 | |
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如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动． （1）当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切； （2）当直线CD与⊙O相切时，求CD所在直线对应的函数关系式； （3）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值． 
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| 8. 难度：中等 | |
 已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径． |
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| 9. 难度：中等 | |
如图，AB为⊙O的弦，若OA⊥OD且CD=BD．求证：BD是⊙O的切线．
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| 10. 难度：中等 | |
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如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠CAB=30°，CD⊥AB于点D， （1）若CD=  ，求⊙O的半径；（2）把△ACD沿AC折叠得到△ACE，求证：EC是⊙O的切线． 
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| 11. 难度：中等 | |
如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，连接AD，BD，∠A=∠B=30度．BD是⊙O的切线吗？请说明理由．
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| 12. 难度：中等 | |
如图，⊙P与⊙O相交于A、B两点，⊙P经过圆心O，点C是⊙P的优弧上 任意一点（不与点A、B重合），连接AB、AC、BC、OC．（1）指出图中与∠ACO相等的一个角； （2）当点C在⊙P上什么位置时，直线CA与⊙O相切？请说明理由； （3）当∠ACB=60°时，两圆半径有怎样的大小关系？请说明你的理由． 
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| 13. 难度：中等 | |
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如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts． （1）求PQ的长； （2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？ 
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| 14. 难度：中等 | |
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如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由； （2）请证明：E是OB的中点； （3）若AB=8，求CD的长． 
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| 15. 难度：中等 | |
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如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长． 
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| 16. 难度：中等 | |
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．求证：DE是⊙O的切线．
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| 17. 难度：中等 | |
如图，在平面直角坐标系中，直线y= 与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A´B´相交于点G．动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒．（1）求点D的坐标； （2）连接DE，当DE与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE所在的直线的解析式； （3）若以动点为E圆心，以  为半径作⊙E，连接A′E，t为何值时，Tan∠EA′B′= ？并判断此时直线A′O与⊙E的位置关系，请说明理由． |
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| 18. 难度：中等 | |
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如图：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB=2  ，求BC的长．
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| 19. 难度：中等 | |
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如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：AB=AC； （2）求证：DE为⊙O的切线； （3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长． 
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| 20. 难度：中等 | |
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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE． （1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由； （2）若AD=6，AE=6  ，求BC的长．
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| 21. 难度：中等 | |
如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过弧AC的中点M，求证：PC是⊙O的切线．
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| 22. 难度：中等 | |
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已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A． （1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的长． 
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| 23. 难度：中等 | |
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如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F． （1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H．若等边△ABC的边长为4，求FH的长． （结果保留根号） 
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| 24. 难度：中等 | |
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AB是⊙O的直径，D是⊙O上一动点，延长AD到C使CD=AD，连接BC，BD． （1）证明：当D点与A点不重合时，总有AB=BC； （2）设⊙O的半径为2，AD=x，BD=y，用含x的式子表示y； （3）BC与⊙O是否有可能相切？若不可能相切，则说明理由；若能相切，则指出x为何值时相切． 
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| 25. 难度：中等 | |
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如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点，连接CG．当△ABC是等边三角形时，求∠AGC的度数． 
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| 26. 难度：中等 | |
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如图，AB是半⊙O的直径，弦AC与AB成30°的角，AC=CD． （1）求证：CD是半⊙O的切线； （2）若OA=2，求AC的长． 
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| 27. 难度：中等 | |
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如图，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A地立即停止运动． （1）如果∠POA=90°，求点P运动的时间； （2）如果点B是OA延长线上的一点，AB=OA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由． 
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| 28. 难度：中等 | |
如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧 的中点，AC交BD于点E，AE=2，EC=1．（1）求证：△DEC∽△ADC； （2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由． （3）延长AB到H，使BH=OB．求证：CH是⊙O的切线． 
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| 29. 难度：中等 | |
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如图，已知AB为⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD=2，直径AB=6，求线段BC的长． 
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| 30. 难度：中等 | |
如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE= ED，延长DB到点F，使FB= BD，连接AF．（1）证明：△BDE∽△FDA； （2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明． 
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