第3章《圆》中考题集（49）：3.5 直线和圆的位置关系（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=4，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是BC的中点，连接OD，OB，DE．
（1）求证：OD⊥DE；
（2）求sin∠ABO的值．

2. 难度：中等

如图，已知⊙O_l与⊙O₂相交于A、B两点，过点A作⊙O_l的弦AC，连接CB并延长交⊙O₂于点D，连AD．若∠CAB=∠D．
（1）求证：AC是⊙O₂的切线；
（2）若AB：AD=1：2，CD=6，求AC的长．

3. 难度：中等

如图所示，已知AB是圆O的直径，圆O过BC的中点D，且DE⊥AC．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=10cm，求圆O的半径．

4. 难度：中等

已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，若四边形AOED是平行四边形，求∠CAB的大小．

5. 难度：中等

如图，已知：⊙O₁与⊙O₂是等圆，它们相交于A、B两点，O₂在⊙O₁上，AC是⊙O₂的直径，直线CB交⊙O₁于D，E为AB延长线上一点，连接DE．
（1）请你连接AD，证明：AD是⊙O₁的直径；
（2）若∠E=60°，求证：DE是⊙O₁的切线．

6. 难度：中等

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D是半圆上的一点，过D作DH⊥AB，垂足为H，延长DH交AC于点E，交⊙O于点F，P为DF延长线上的一点．
（1）探索△PCE满足什么条件时，PC是⊙O的切线，并加以证明．
（2）若F是劣弧的中点，求证：AD²=DF•EF．

7. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，P为BC上一点．
（1）若∠APD=90°，找出图中两个相似的三角形，并加以证明；
（2）若AB=9，DC=4，P为BC的中点，∠APD=90°，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，试探求以AD为直径的圆与BC所在直线的位置关系，并予以证明．

8. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB为直径的⊙O交AC于D，E是BC的中点，连接ED并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DB的长；
（3）求S_△FAD：S_△FDB的值．

9. 难度：中等

已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：
（1）AD=BD；
（2）DF是⊙O的切线．

10. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，过A作⊙O的切线，在切线上截取AC=AB，连接OC交⊙O于D，连接BD并延长交AC于E，⊙F是△ADE的外接圆，F在AE上．
求证：（1）CD是⊙F的切线；（2）CD=AE．

11. 难度：中等

如图1，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交直线BC于点E，交⊙O于点D．
（1）过点D作MN∥BC，求证：MN是⊙O切线；
（2）求证：AB•AC=AD•AE；
（3）如图2，AE平分∠BAC的外角∠FAC，交BC的延长线于点E，EA的延长线交⊙O于点D．结论AB•AC=AD•AE是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．

12. 难度：中等

如图，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，直线CD、EF过点B交⊙O₁于点C、E，交⊙O₂于点D、F．
（1）求证：△ACD∽△AEF；
（2）若AB⊥CD，且在△AEF中，AF、AE、EF的长分别为3、4、5，求证：AC是⊙O₂的切线．

13. 难度：中等

如图，⊙O₁和⊙O₂内切于点P，且⊙O₁过点O₂，PB是⊙O₂的直径，A为⊙O₂上的点，连接AB，过O₁作O₁C⊥BA于C，连接CO₂．已知PA=，PB=4．
（1）求证：BA是⊙O₁的切线；
（2）求∠BCO₂的正切值．

14. 难度：中等

已知：如图，AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，PA⊥AB，弦BC∥OP
求证：PC是⊙O的切线．

15. 难度：中等

如图，已知：AO为⊙O₁的直径，⊙O₁与⊙O的一个交点为E，直线AO交⊙O于B、C两点，过⊙O的切线GF，交直线AO于点D，与AE的延长线垂直相交于点F，OG∥AF．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AB=2，AE=6，求△ODG的周长．

16. 难度：中等

如图，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是O的切线吗？为什么？

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）求OA、OC的长；
（2）求证：DF为⊙O′的切线；
（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．

18. 难度：中等

已知：如图⊙O是Rt△CDE的外接圆，BC⊥CE，BD和CE的延长线交于点A，且OB∥ED．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的半径r．

19. 难度：中等

如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，cosB=点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC交于点D、E，且EF⊥AC，垂足为F，设OB=x，CF=y．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）．

20. 难度：中等

如图i，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上的一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA．
（1）求证：AP是半圆O的切线；
（2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有BD²=BE•BC成立？说明理由；
（3）如图ii，在满足（2）问的前提下，若OD⊥BC与H，BE=2，EC=4，连接PD，请探究四边形ABDO是什么特殊的四边形，并求tan∠DPC的值．

21. 难度：中等

如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC．
（1）求证：AC²=AE•AB；
（2）延长EC到点P，连接PB，若PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由．

22. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O在CB上，且AO平分∠BAC，CO=3（如图所示），以点O为圆心，r为半径画圆．
（1）r取何值时，⊙O与AB相切；
（2）r取何值时，⊙O与AB有两个公共点；
（3）当⊙O与AB相切时，设切点为D，在BC上是否存在点P，使△APD的面积为△ABC的面积的一半？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

如图，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D．
（1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件______（任写一个）；
（2）增加条件后，请你说明⊙O与AC边相切的理由．

24. 难度：中等

如图，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC．
（1）在图（a）中，能否在AB上确定一点E，使得AC²=AE•AB，为什么？
（2）在图（b）中，在条件（1）的结沦下延长EC到P，连接PB，如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系，并说明理由．

25. 难度：中等

如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB，延长AB交DC于点E．
（1）判定直线DE与圆O的位置关系，并说明你的理由；
（2）求证：AC²=AD•AB；
（3）以下两个问题任选一题作答．（若两个问题都答，则以第一问的解答评分）
①若CF⊥AB于点F，试讨论线段CF、CE和DE三者的数量关系；
②若EC=5，EB=5，求图中阴影部分的面积．

26. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连接PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：
（1）求证：CP是⊙O的切线．
（2）当∠ABC=30°，BG=，CG=时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．
（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG²=BF•BO成立？试写出你的猜想，并说明理由．

27. 难度：中等

已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

28. 难度：中等

如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连接DB，且AD=DB．
（1）求证：DB为⊙O的切线．
（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长．

29. 难度：中等

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）

30. 难度：中等

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．