《第22章 一元二次方程》2010年培优专题（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．（x-3）x=x²+2
B．ax²+bx+c=0
C．3x²-+2=0
D．2x²=1

2. 难度：中等

关于x的方程（a²+a-2）x²+ax+b=0是一元二次方程的条件是（ ）
A．a≠1
B．a≠-2
C．a≠1且a≠-2
D．a≠1或a≠-2

3. 难度：中等

方程（x-5）（x+2）=1的根为（ ）
A．5
B．-2
C．-2或5
D．以上均不对

4. 难度：中等

方程（x-）²=（-x）（x-）的较小根为（ ）
A．_-
B．
C．
D．

5. 难度：中等

方程x²+a（2x+a）+x+a=0的解为（ ）
A．x₁=_a，x₂=a-1
B．x₁=a，x₂=-（a+1）
C．x₁=-a，x₂=a+1
D．x₁=-a，x₂=-（a+1）

6. 难度：中等

关于x的一元二次方程kx²-6x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥9
B．k＜9
C．k≤9且k≠0
D．k＜9且k≠0

7. 难度：中等

m为有理数，且方程2x²+（m+1）x-（3m²-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为（ ）
A．4
B．1
C．-2
D．-6

8. 难度：中等

已知a、b、c是一个三角形的三边，且方程a（x²-1）-2cx+b（x²+1）=0有两个相等的实数根，则该三角形是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形

9. 难度：中等

以、-为根的一元二次方程是（ ）
A．x²-x+1=0
B．x²-x-1=0
C．x²+x+1=0
D．x²+x-1=0

10. 难度：中等

已知x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两根，且判别式△=b²-4ac≥0，则x₁-x₂的值为（ ）
A．
B．
C．±
D．±

11. 难度：中等

关于x的方程mx²-6x+3=0有实数根，则m的非负整数值是（ ）
A．0、1
B．0、1、2
C．1、2、3
D．0、1、2、3

12. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程2x²-9x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的取值为（ ）
A．m≤
B．9≤m≤
C．m=9
D．m=-9或m=9

13. 难度：中等

下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x²+2x-1=0
B．x²+2x+2=0
C．x²+2x+1=0
D．x²+x+2=0

14. 难度：中等

关于x的一元二次方程（a-1）x²+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．-1或1

15. 难度：中等

若实数a、b满足a²-8a+5=0，b²-8b+5=0，则的值是（ ）
A．-20
B．2
C．2或-20
D．

二、填空题

16. 难度：中等

方程x²-mx+n=0的两个根，一个是-1，另一个是1，则m=    ，n=    ．

17. 难度：中等

若关于x的一元二次方程kx²+3x-2=0有两个实数根，则k的取值范围是    ．

18. 难度：中等

x²-    x+=（x-    ）²

19. 难度：中等

方程x²-mx+n=0中，m、n均为有理数，且方程有一个根是2+，则m=    ，n=    ．

20. 难度：中等

方程（3x-1）（kx+3）=0的一个根为3，则k=    ，另一个根是    ．

21. 难度：中等

已知方程x²+（k²-36）x+k-3=0的两根的平均数为0，则k的值为    ，这个方程的根为    ．

22. 难度：中等

方程x²+kx+1=0与x²-x-2=0有一个根相同，则k=    ．

23. 难度：中等

某汽车制造厂2000年1月份生产汽车25000辆，若3月份产量要达到30250辆，则这两个月的平均增长率为    ．

24. 难度：中等

等腰三角形的边长是方程x²-2x+1=0的两根，则它的周长为    ．

25. 难度：中等

关于x的一元二次方程mx²-2x+1=0有两个相等的实数根，则m=    ．

26. 难度：中等

若一元二次方程x²-x-m+2=0有两个相等的实数根，则m=    ．

27. 难度：中等

已知关于x的方程8x²-（2m²+m-6）x+2m-1=0的两根互为相反数，则m=    ．

三、解答题

28. 难度：中等

用直接开平方法解方程：（2y-1）²=

29. 难度：中等

用配方法解方程：6x²-x-12=0．

30. 难度：中等

解关于x的方程：x²-3x-1=0

31. 难度：中等

解方程组：

32. 难度：中等

已知方程x²+（2k-1）x+k²+3=0的两实数根的平方和比两根之积大15，求k的值．

33. 难度：中等

求证：无论m取何值，方程x²+（m-5）x+m-8=0一定有两个不同的实根．

34. 难度：中等

若n＞0，关于x的方程x²-（m-2n）x+mn=0有两个相等的正实数根，求的值．

35. 难度：中等

已知整数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0有有理根，求m的值及方程的根．

36. 难度：中等

小李和小张各自加工15个玩具，小李每小时比小张多加工1个，结果比小张少小时完成任务．问两个每小时各加工多少个玩具？

37. 难度：中等

今春以来，在党和政府的领导下，我国进行了一场抗击“非典”的战斗．为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只加浓抗病毒口罩的任务，为使抗毒口罩早日到达防疫第一线，开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务．该厂原计划每天加工多少万只口罩？

38. 难度：中等

某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

39. 难度：中等

m为何值时，方程x²+mx-3=0与方程x²-4x-（m-1）=0有一个公共根？并求出这个公共根．

40. 难度：中等

关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．