2010-2011学年北京市西城区（北区）九年级（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y=（x-1）²+2的对称轴是（ ）
A．直线x=-1
B．直线x=1
C．直线x=-2
D．直线x=2

2. 难度：中等

如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠C=15°，则∠BOC的度数为（ ）

A．15°
B．30°
C．45°
D．60°

3. 难度：中等

如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）

A．
B．
C．
D．3

4. 难度：中等

用配方法将y=x²-6x+11化成y=a（x-h）²+k的形式为（ ）
A．y=（x+3）²+2
B．y=（x-3）²-2
C．y=（x-6）²-2
D．y=（x-3）²+2

5. 难度：中等

如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A₁B₁C₁，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（ ）

A．（-4，-3）
B．（-3，-3）
C．（-4，-4）
D．（-3，-4）

6. 难度：中等

某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价x（元）满足关系：P=100-2x．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．（x-30）（100-2x）=200
B．x（100-2x）=200
C．（30-x）（100-2x）=200
D．（x-30）（2x-100）=200

7. 难度：中等

如图，△OAB中，OA=OB，∠A=30°，⊙O与AB相切，切点为E，并分别交OA，OB于C，D两点，连接CD．若CD等于，则扇形OCED的面积等于（ ）

A．π
B．π
C．π
D．π

8. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若AB=20cm，则DE的长为（ ）

A．10cm
B．5cm
C．10cm
D．5cm

二、填空题

9. 难度：中等

如图，在△ABC中，DE∥AB分别交AC，BC于点D，E，若AD=2，CD=3，则△CDE与△CAB的周长比为    ．

10. 难度：中等

两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为5cm，则两圆的位置关系为    ．

11. 难度：中等

如图，平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），以OA为半径作⊙O，若点P，B都在⊙O上，且四边形AOPB为菱形，则点P的坐标为    ．

12. 难度：中等

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）满足条件：（1）4a-b=0；（2）a-b+c＞0；（3）与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①a＜0；②c＞0；③a+b+c＜0；④，其中所有正确结论的序号是    ．

三、解答题

13. 难度：中等

计算：．

14. 难度：中等

若关于x的方程 x²+4x-a+3=0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．

15. 难度：中等

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，D为CB延长线上一点，且BD=2AB．求AD的长．

16. 难度：中等

如图为抛物线y=-x²+bx+c的一部分，它经过A（-1，0），B（0，3）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．

17. 难度：中等

如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋楼的高度．（取1.414，取1.732）

18. 难度：中等

对于抛物线 y=x²-4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为______，与y轴交点的坐标为______，顶点坐标为______；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；

x	…						…
y	…						…

（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x²-4x+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是______．

19. 难度：中等

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若CD=2，求BE的长．

20. 难度：中等

两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．
（1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图2），∠DCE=______°，点C到直线l的距离等于______

21. 难度：中等

已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=∠BFC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=8，tanB=，求AD的长．

22. 难度：中等

请阅读下面材料：
若A（x₁，y），B（x₂，y） 是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线为此抛物线的对称轴．
有一种方法证明如下：
①②
证明：∵A（x₁，y），B（x₂，y） 是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的两点
∴且 x₁≠x₂．
①-②得 a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=0．
∴（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0．
∴
又∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为，
∴直线为此抛物线的对称轴．
（1）反之，如果M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） 是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取x₁，x₂时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数y=x²+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．

23. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程 （m-2）x²-（m-1）x+m=0．（其中m为实数）
（1）若此方程的一个非零实数根为k，
①当k=m时，求m的值；
②若记为y，求y与m的关系式；
（2）当＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由．

24. 难度：中等

已知抛物线y=ax²-（a+c）x+c（其中a≠c且a≠0）．
（1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）
（2）若经过此抛物线顶点A的直线y=-x+k与此抛物线的另一个交点为B（，-c），求此抛物线的解析式；
（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线y=-x+k与 y轴的交点为C，若tan∠POB=tan∠POC，求点P的坐标；
（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜n+1（n为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N，则N关于n的函数关系式为______．

25. 难度：中等

含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接BE．
（1）如图1，当A'B'边经过点B时，α=______°；
（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；
（3）设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=时，求AD的长，并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系．