《第2章 一元二次方程》2010年创新题（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在正数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a+b²，根据这个规则，方程x*（x+1）=5的解是（ ）
A．x=5
B．x=1
C．x₁=-4或x₂=1
D．x₁=4或x₂=-1

二、填空题

2. 难度：中等

先从括号内①②③④备选项中选出合适的一项，填在横线上，将题目补充完整后再解答．
（1）如果a是关于x的方程x²+bx+a=0的根，并且a≠0，求    的值，①ab；②；③a+b④a-b．
（2）已知7x²+5y²=12xy，且xy≠0，求    的值．①xy②③x+y④x-y．

三、解答题

3. 难度：中等

编一道关于增长率的一元二次方程应用题，并解答．编题要求：①题目完整，题意清楚；②题意与方程的解都要符合实际．

4. 难度：中等

阅读下面的例题：
解方程：x²-|x|-2=0
【解析】
（1）当x≥0时，原方程化为x²-x-2=0，解得：x₁=2，x₂=-1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x²+x-2=0，解得：x₁=1（不合题意，舍去），x₂=-2
∴原方程的根是x₁=2，x₂=-2．
请参照例题解方程x²-|x-3|-3=0，则此方程的根是______．

5. 难度：中等

已知关于x的方程（k-1）x²+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】
（1）根据题意，得
△=（2k-3）²-4（k-1）（k+1）
=4k²-12k+9-4k²+4
=-12k+13＞0．
∴k＜．
∴当k＜时，方程有两个不相等的实数根．
（2）存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则x₁+x₂==0，解得k=．
检验知k=是=0的解．
所以当k=时，方程的两实数根x₁，x₂互为相反数．
当你读了上面的解答过程后，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，直接写出正确的答案．