2010-2011学年山西省太原市科中九年级（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若关于x的方程a（x-1）²=2x²-2是一元二次方程，则a的值是（ ）
A．2
B．-2
C．0
D．不等于2

2. 难度：中等

上午九时，阳光灿烂，小李在地面上同时摆弄两根长度不相等的竹竿，若它们的影子长度相等，则这两根竹竿的相对位置可能是（ ）
A．两根都垂直于地面
B．两根都倒在地面上
C．两根不平行斜竖在地面上
D．两根平行斜竖在地面上

3. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x²+2x-3=0的根，则平行四边形ABCD的周长为（ ）

A．4+2
B．12+6
C．2+2
D．2+2或12+6

4. 难度：中等

关于x的一元二次方程2x+（k-4）x²+6=0没有实数根，则k的最小整数是（ ）
A．-1
B．2
C．3
D．5

5. 难度：中等

如图，E，F，G，H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是等腰梯形

7. 难度：中等

如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）

A．4.5米
B．6米
C．7.2米
D．8米

8. 难度：中等

若方程x²+x+k=0有两负根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0
B．k＜0
C．
D．0＜k≤

9. 难度：中等

一种原价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20%；乙超市一次性降价40%；丙超市第一次降价30%，第二次降价10%；若顾客要购买这种商品，最划算应到的超市是（ ）
A．甲或乙或丙
B．乙
C．丙
D．乙或丙

10. 难度：中等

以为根，且二次项系数为1的一元二次方程是（ ）
A．x²+x+1=0
B．x²+x-1=0
C．x²-x+1=0
D．x²-x-1=0

11. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交BC的延长线于E，交AC于F，∠A=50°，AB+BC=16cm，则△BCF的周长和∠EFC分别为（ ）

A．16cm，40°
B．8cm，50°
C．16cm，50°
D．8cm，40°

12. 难度：中等

三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x²-12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14
B．12
C．12或14
D．以上都不对

13. 难度：中等

如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四边形AEPF}=S_△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（ ）

A．①④
B．①②
C．①②③
D．①②③④

14. 难度：中等

如图是一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体最多块数是（ ）

A．8
B．10
C．12
D．14

15. 难度：中等

如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（ ）

A．3
B．4
C．5
D．6

二、填空题

16. 难度：中等

菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x²-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的面积为    cm²．

17. 难度：中等

棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是    cm²．

18. 难度：中等

如图，将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），若两正方形重叠部分的面积为，则这个旋转角度为    度．

19. 难度：中等

已知α²+β²=13，（1-α）（1-β）=2，则以α，β为根的一元二次方程是    ．

20. 难度：中等

如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S₁，S，S₃，若S₁+S₃=10，则S=    ．

三、解答题

21. 难度：中等

解下列方程：
（1）（x-1）²=4
（2）2t²-7t-4=0（用配方法）

22. 难度：中等

（1）如图所示，屋顶上有一只小猫，院子里有一只小老鼠，若小猫看见了小老鼠，则小老鼠就会有危险，试画出小老鼠在墙的左端的安全区．

（2）阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子[如图所示]，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE=3.9m，窗口底边离地面的距离BC=1.2m，试求窗口的高度（即AB的值）

23. 难度：中等

关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

24. 难度：中等

如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④BD=CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．
已知：______．
求证：______．
证明：

25. 难度：中等

方程（2008x）²-2007×2009x-1=0的较大根为a，方程x²-2008x-2009=0的较小根为b，求（a+b）²⁰⁰⁹的值．

26. 难度：中等

某商店有一批衬衫将出售，如果每件盈利40元，每天可售出20件，为了尽快减少库存，增加盈利，商场决定降价出售，经过调查得知，若每件衬衫降价1元，则平均每天多售出2件，问：
（1）每件衬衫应降价多少元时，平均每天可盈利1200元；
（2）商场每天盈利能不能达到1250元，若能达到，每件衬衫应降价多少元？若不能达到，请说明理由．

27. 难度：中等

已知x₁、x₂是方程4x²-（3m-5）x-6m²=0的两根，且，求m的值．

28. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE=GF=GC．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）当∠FGC=2∠EFB时，求证：四边形AEFG是矩形．

29. 难度：中等

如图，P是正方形ABCD内一点，PA=a，PB=2a，PC=3a．将△APB绕点B按顺时针方向旋转，使AB与BC重合，连接PP′，得到△PBP′．
（1）求证：△PBP′是等腰直角三角形；
（2）猜想△PCP′的形状，并说明理由．

30. 难度：中等

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm²，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE²=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．