2010-2011学年江苏省常州市外国语学校九年级（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1
B．x＞-1
C．x≥-1
D．x＞1

2. 难度：中等

关于x的一元二次方程（m-1）x²+5x+m²-3m+2=0的常数项为0，则m等于（ ）
A．1
B．2
C．1或2
D．0

3. 难度：中等

下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

一个菱形的内角为60°，一边的长为2，它的面积是（ ）
A．
B．
C．2
D．4

5. 难度：中等

如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S₁、S₂、S₃，则S₁、S₂、S₃之间的关系是（ ）

A．S₁+S₃=S₂
B．2S₁+S₃=S₂
C．2S₃-S₂=S₁
D．4S₁-S₃=S₂

6. 难度：中等

菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（ ）

A．（，1）
B．（1，）
C．（+1，1）
D．（1，+1）

二、填空题

7. 难度：中等

计算：=    ；=    ．

8. 难度：中等

一元二次方程x²=x的根是    ．

9. 难度：中等

若（x²+y²）²-4（x²+y²）-5=0，则x²+y²=    ．

10. 难度：中等

把根号外的因式移到根号内：=-

11. 难度：中等

已知一组数据：x₁，x₂，x₃，…的平均数是2，方差是3，则另一组数据：3x₁-2，3x₂-2，3x₃-2，…的平均数和方差分别是    ．

12. 难度：中等

如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为    ．

13. 难度：中等

为美化小区环境，某小区有一块面积为30m²的等腰三角形草地，测得其一边长为10m，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则其长度为    m．

14. 难度：中等

市政府为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，决定下调药品的价格．某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x，由题意，可列方程为    ．

15. 难度：中等

如图：在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是    形．

16. 难度：中等

正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…按如图所示的方式放置．点A₁，A₂，A₃，…和点C₁，C₂，C₃，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B₁（1，1），B₂（3，2），则B_n的坐标是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

计算：

18. 难度：中等

计算：

19. 难度：中等

解方程：3x²-10x+6=0 （配方法）

20. 难度：中等

解方程：（x+8）（x+1）=-12

21. 难度：中等

市农科所为了考察甲、乙两种水稻秧苗的长势，从中分别抽取了10株水稻，测得它们的株高如下（单位：cm）
甲：9，14，12，16，13，16，10，10，15，15；
乙：11，11，15，16，13，10，12，15，13，14．
试计算这两个样本的平均数、方差，并估计哪种水稻秧苗的长势比较整齐．

22. 难度：中等

如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．

23. 难度：中等

某商店进购某种商品出售，若按每件盈利2元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元，其销售量就减少10件，问应将每件商品提高多少元出售时，才能使平均每天利润为1210元？

24. 难度：中等

Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．
（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；
（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△A′B′C′位置，直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）

25. 难度：中等

已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G．DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图1所示方式折叠，点A，B，C分别落在点A′，B′，C′处．若点A′，B′，C′在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△A′B′C′（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．
（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A，B，C，D恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A′B′C′的面积；
（2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A′B′C′存在．试用含m的代数式表示重叠三角形A′B′C′的面积，并写出m的取值范围．（直接写出结果）

26. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ．若设运动的时间为t秒（0＜t＜2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）设△AQP的面积为y，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形PQP′O，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′O为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．