《28.4 方程的近似解》2010年习题精选（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

方程（x-1）²=3的精确解是    ．

2. 难度：中等

方程2x²+3x+1=0的二根是    ．

二、解答题

3. 难度：中等

利用配方法求方程x²+4x-1=0的精确解．

4. 难度：中等

选用适当方法求下列方程的精确解．
（1）2x²-4x-1=0；
（2）（2x+1）²=（x-4）²．

5. 难度：中等

利用计算法求下列方程的近似解（精确到0.01）
（1）3x²+x-1=0；
（2）x²+2x-7=0．

6. 难度：中等

估计下列方程的解（误差不超过0.1）
（1）2x²=6；
（2）x⁶-12=0．

7. 难度：中等

以大约与水平方向成45°斜上方抛出标枪，抛出的距离是s（米）与标枪出手速度v（米/秒）之间有大致如下的关系：s=v²+2，如果抛出40米，则出手时速度是多少？（精确到0.1米/秒）

8. 难度：中等

一底面是正方形的长方体形容边，高是10cm，容积是800cm³，试估计此长方体底面正方形的边长（精确到0.01cm）在哪个范围内？

9. 难度：中等

一种药品经过两次降价，由每盒的60元降到了45元，估算平均每次降价的百分率（精确到0.1%）

10. 难度：中等

估计方程（x+1）³=15的近似解（误差不超过0.1）．

11. 难度：中等

某建筑公司在2005年1月和2月将设备投资减少了39%，试求每个月平均投资减少的百分数（精确0.01%）．

12. 难度：中等

如图，△ABC，∠B=90°，点P由A开始沿AB向B运动，速度是1cm/s，点Q由B开始沿BC向C运动，速度是2cm/s，如果P、Q同时出发，经过多长时间△PBQ的面积等于7cm²，请列出方程估计解的大致范围（误差不超过0.01s）．

13. 难度：中等

如图，等腰△ABC中，∠A=36°，AB=AC=a，D在AC上，且∠DBC=36°，试求BD的长（精确到0.001a）．

14. 难度：中等

有一个算式分子都是整数，满足≈1.16，那么你能算出他们的分子依次是哪些数吗？
在我们的教科书中选取了一些具体值并将它们代入要解的一元二次方程中，大致估计出一元二次方程解的范围，再在这个范围内逐步加细赋值，进而逐步估计出一元二次方程的近似解．下面介绍另外一种估计一元二次方程近似解的方法，以方程x²-3x-1=0为例，因为x≠0，所以先将其变形为x=3+，用3+代替x，得x=3+=3+．反复若干次用3+代替x，就得到x=形如上式右边的式子称为连分数．
可以猜想，随着替代次数的不断增加，右式最后的对整个式子的值的影响将越来越小，因此可以根据需要，在适当时候把忽略不计，例如，当忽略x=3+中的时，就得到x=3；当忽略x=3+中的时，就得到x=3+；如此等等，于是可以得到一系列分数；
3，3+，3+，3+，…，即3，=3.333…，≈3.3.=3.303 03…，…．
可以发现它们越来越趋于稳定，事实上，这些数越来越近似于方程x²-3x-1=0的正根，而且它的算法也很简单，就是以3为第一个近似值，然后不断地求倒数，再加3而已，在计算机技术极为发达的今天，只要编一个极为简单的程序，计算机就能很快帮你算出它的多个近似值．