初中数学竞赛专项训练09：面积及等积变换（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC与BD交于O，点P在AB的延长线上，且BP=CD，则图形中面积相等的三角形有（ ）

A．3对
B．4对
C．5对
D．6对

2. 难度：中等

如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，BC的中点，连AF，CE，设AF，CE交于点G，则等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且=，若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，AB为边，在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB，作CK⊥AB，分别交AB和GH于D和K，则正方形ACEF的面积S₁与矩形AGKD的面积S₂的大小关系是（ ）

A．S₁=S₂
B．S₁＞S₂
C．S₁＜S₂
D．不能确定，与的大小有关

5. 难度：中等

如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AD=8，AB=7，则BC+CD等于（ ）

A．
B．5
C．4
D．3

6. 难度：中等

如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．（1+）²

7. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE⊥AM，E为垂足，则DE=（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

O为△ABC内一点，AO、BO、CO及其延长线把△ABC分成六个小三角形，它们的面积如图所示，则S_△ABC=（ ）

A．292
B．315
C．322
D．357

二、填空题

9. 难度：中等

如图，梯形ABCD的中位线EF的长为a，高为h，则图中阴影部分的面积为   

10. 难度：中等

如图，若等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等于15cm，则这个等腰三角形的面积等于    ．

11. 难度：中等

如图，在△ABC中，CE：EB=1：2，DE∥AC，若△ABC的面积为S，则△ADE的面积为    ．

12. 难度：中等

如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2．连接AD和BE，它们相交于点P，过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q、R，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为    ．

13. 难度：中等

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=2：5，AF：FD=1：1，BE：EC=2：3，EF、CD延长线交于G，用最简单的整数比来表示，S_△GFD：S_△FED：S_△DEC=    ．

14. 难度：中等

如图，P是矩形ABCD内一点，若PA=3，PB=4，PC=5，则PD=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，S_△ABE=S_△ADF=S_矩形ABCD．
求：的值．

16. 难度：中等

一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．
求证：．

17. 难度：中等

如图，在▱ABCD中，P₁、P₂、P₃…P_n-1是BD的n等分点，连接AP₂，并延长交BC于点E，连接AP_n-2并延长交CD于点F．
（1）求证：EF∥BD；
（2）设▱ABCD的面积是S，若S_△AEF=S，求n的值．

18. 难度：中等

如图，△ABC是等腰三角形，∠C=90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边的距离等于1，将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A₁B₁C₁，两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ．
①证明：△AKL，△BMN，△CPQ都是等腰直角三角形．
②求证：△ABC与△A₁B₁C₁公共部分的面积．