2006年福建省莆田市仙游县东宅中学“庆元旦”九年级数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．100°
B．115°
C．130°
D．125°

2. 难度：中等

下列计算过程中正确的是（ ）
A．2+=2
B．=
C．-2
D．=×

3. 难度：中等

下列事件中，属必然事件的是（ ）
A．明天东岱镇会下雨
B．打开电视机，正在播广告节目
C．球员在罚球区上投篮一次就投中
D．盒中装有2个红球和1个白球，从中摸出两球，其中至少有一个是红球

4. 难度：中等

一个等腰三角形的一边长为1，另一边长为，则等腰三角形的周长是（ ）
A．2+
B．1+2
C．2
D．2或3

5. 难度：中等

如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，则截面上有油部分油面CD（单位：cm）等于（ ）

A．8cm
B．9cm
C．10cm
D．11cm

6. 难度：中等

某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.98%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（ ）
A．2.25%（1-2x）=1.98%
B．1.98%（1+2x）=2.25%
C．1.98%（1+x）²=2.25%
D．2.25%（1-x）²=1.98%

7. 难度：中等

如图，是一个半径为6cm，面积为12πcm²的扇形纸片，现需要一个半径为R的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R等于（ ）

A．1.5cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm

8. 难度：中等

如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（ ）

A．50
B．52
C．54
D．56

9. 难度：中等

⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，且AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离为（ ）
A．1cm
B．7cm
C．3cm或4cm
D．1cm或7cm

10. 难度：中等

如图，AB，CD是⊙O的直径，⊙O的半径为R，AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作CED，则CED与CAD围成的新月形ACED的面积为（ ）平方单位．

A．（π-1）R²
B．R²
C．（π+1）R²
D．πR²

二、填空题

11. 难度：中等

配方：x²-4x+3=（x-中填上适当的数，使等式成立    ．

12. 难度：中等

在汉语拼音“SHUXUE”中任意选择一个字母，则字母为“U”的概率等于   

13. 难度：中等

当x=-1，分式的值是    ．

14. 难度：中等

在一块长35米，宽26米的矩形绿地上有宽度相同为x的两条小路，如图，其中绿地面积为850m²，则可列出方程为    ．

15. 难度：中等

方程（x-3）²=x-3的根是    ．

16. 难度：中等

若，则ab=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

观察下列各式及其验算过程：
=2，验证：===2；
=3，验证：===3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．

18. 难度：中等

如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），解答下列各题：
（1）求线段AB的长；
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标；
（3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP的度数；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园，所占的面积为原来荒地面积的三分之二． （精确到0.1米）
（1）设计方案1（如图①）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路；
（2）设计方案2（如图②）花园中每个角的扇形都相同．

以上两种方案是否都能符合条件？若能，请计算出图①中小路的宽和图②中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由．