2009年数学九年级奥林匹克初中训练（06）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a，b是实数，且，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

适合于（y-2）x²+yx+2=0的非负整数对（x，y）的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

如图，凸五边形ABCDE内接于半径为1的⊙O，ABCD是矩形，AE=ED，且BE和CE把AD三等分．则此五边形ABCDE的面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若关于x的不等式|x+a|≥|x-3|的解中包含了”x≥a”，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥-3
B．a≥-1或a=-3
C．a≥1或a=-3
D．a≥2或a=-3

5. 难度：中等

如图所示，在△ABC中，M是边AB的中点，N是边AC上的点，且，CM与BN相交于点K，若△BCK的面积等于1，则△ABC的面积等于（ ）

A．3
B．
C．4
D．

6. 难度：中等

设a，b，c为实数，且a≠0，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点在直线y=-1上．若△ABC是直角三角形，则Rt△ABC面积的最大值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．3

二、填空题

7. 难度：中等

设x是实数，则函数y=|x-1|+|x-2|-|x-3|的最小值是    ．

8. 难度：中等

设a、b为实数，方程x²+ax+b=0的两根为x₁，x₂，且x₁³+x₂³=x₁²+x₂²=x₁+x₂，则有序的二元数组（a，b）共有    个．

9. 难度：中等

若，则a：b：c=    ．

10. 难度：中等

如图，正△EFG内接于正方形ABCD，其中E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若，则=    ．

三、解答题

11. 难度：中等

如图，在锐角△ABC内有一点P，直线AP，BP，CP分别交对边于Q₁，Q₂，Q₃，且∠PQ₁C=∠PQ₂A=∠PQ₃B．
试问：点P是否必为△ABC的垂心？如果是，请证明；如果不是，请举反例说明．

12. 难度：中等

是否存在这样的正整数n，使得3n²+7n-1能整除n³+n²+n+1？请说明理由．

13. 难度：中等

设p为素数，k是正整数．求证：方程x²+px+kp-1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1．