竞赛辅导：二次函数的图象与性质（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知：二次函数y=（2m-1）x²-（5m+3）x+3m+5
（1）m为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；
（2）m为何值时，这两个交点在原点的左右两边；
（3）m为何值时，此抛物线的对称轴是y轴；
（4）m为何值时，这个二次函数有最大值．

2. 难度：中等

已知：二次函数y=2x²-4mx+m²的图象与x轴有两个交点A、B，顶点为C，若△ABC的面积为，求m的值．

3. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），对称轴方程是x=3，顶点为B，直线y=kx+m经过A、B两点，它与坐标轴围成的三角形的面积为2，求一次函数y=kx+m和二次函数y=ax²+bx+c的解析式．

4. 难度：中等

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示：
（1）判断a，b，c，b²-4ac的符号；
（2）当|OA|=|OB|时，求a，b，c满足的关系．

5. 难度：中等

如图，顶点坐标为（1，9）的抛物线交x轴于点A（-2，0）、B两点，交y轴于点C，过A、B、C三点的⊙O′交y轴于另一点D，交抛物线于另一点P，过原点O且垂直于AD的直线交AD于点H，交BC于点G．
（1）求抛物线的解析式和点G的坐标；
（2）设直线x=m交抛物线于点E，交直线OG于点F，是否存在实数m，使G、P、E、F为一个平行四边形的四个顶点？如果存在，求出m的所有值；如果不存在，请说明理由．

6. 难度：中等

设抛物线为y=x²-kx+k-1，根据下列各条件，求k的值．
（1）抛物线的顶点在x轴上；
（2）抛物线的顶点在y轴上；
（3）抛物线的顶点（-1，-2）；
（4）抛物线经过原点；
（5）当x=1时，y有最小值；
（6）y的最小值为-1．

7. 难度：中等

设直线y=kx+b与抛物线y=ax²的两个交点的横坐标分别为x₁和x₂，且直线与x轴交点的横坐标为x₃，求证：．

8. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c，当时，有最大值25，而方程ax²+bx+c=0的两根α、β，满足α³+β³=19，求a、b、c．

9. 难度：中等

证明：无论a取任何实数值时，抛物线是通过一个定点，而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上．

10. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）过（0，4），（2，-2）两点，若抛物线在x轴上截得的线段最短时，求这时的抛物线解析式．

11. 难度：中等

如果二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点坐标是（2，4），且直线y=x+4依次与y轴和抛物线相交于P、Q、R三点，PQ：QR=1：3，求这个二次函数解析式．

12. 难度：中等

已知：抛物线y=-x²+px+q交x轴于点A、B，交y轴于点C，又∠ACB=90°，tan∠CAO-tan∠CBO=2．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设平行于x轴的直线交抛物线于点M、N，是否存在以MN为直径且与x轴相切的圆？如果不存在，说明理由；如果存在，求出圆的半径．