2009年全国初中数学竞赛（江西赛区）预赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知非零实数a，b满足|2a-4|+|b+2|++4=2a，则a+b等于（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

2. 难度：中等

如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA=a，OB=OC=OD=1，则a等于（ ）

A．
B．
C．1
D．2

3. 难度：中等

将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图1所示，在直角梯形ABCD中AB∥CD，∠B=90°．动点P从点B出发，沿梯形的边由BCDA运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）

A．10
B．16
C．18
D．32

5. 难度：中等

关于x，y的方程x²+xy+2y²=29的整数解（x，y）的组数为（ ）
A．2组
B．3组
C．4组
D．无穷多组

二、填空题

6. 难度：中等

一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶    km．

7. 难度：中等

已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD=AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为    ．

8. 难度：中等

已知a₁，a₂，a₃，a₄，a₅是满足条件a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=9的五个不同的整数，若b是关于x的方程（x-a₁）（x-a₂）（x-a₃）（x-a₄）（x-a₅）=2009的整数根，则b的值为    ．

9. 难度：中等

如图，在△ABC中，CD是高，CE为∠ACB的平分线．若AC=15，BC=20，CD=12，则CE的长等于    ．

10. 难度：中等

10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是    ．

三、解答题

11. 难度：中等

函数y=x²+（2k-1）x+k²的图象与x轴的两个交点是否都在直线x=1的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x=1的右侧时的取值范围．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系 xOy中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数 y=（x-90）²-4907的图象上所有“好点”的坐标．

13. 难度：中等

如图，给定锐角三角形ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．

14. 难度：中等

n个正整数a₁，a₂，…，a_n满足如下条件：1=a₁＜a₂＜…＜a_n=2009；且a₁，a₂，…，a_n中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．