初中数学培优竞赛训练题（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

如图，填在下面三个田字格内的四个数具有相同的规律，根据此规律，则C=    ．

2. 难度：中等

如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和，那么这个数就叫完全数．例如，6的不包括自身的所有因数为1，2，3，而且6=1+2+3，所以6是完全数．大约2200多年前，欧几里德提出：如果2ⁿ-1是质数，那么2^n-1（2ⁿ-1）是一个完全数．请你根据这个结论写出6之后的下一个完全数    ．

3. 难度：中等

如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．

（1）圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a=    ；
（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是    （用含n的代数式表示）．

4. 难度：中等

我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：1×2³+0×2²+1×2¹+1×2=11．按此方式，则将十进制数6换算成二进制数应为    ．

5. 难度：中等

一个自然数N被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被4除余3，被3除余2，被2除余1，则N的最小值为    ．

6. 难度：中等

一个三位自然数，当它分别被2、3、4、5、7除时，余数都是1，设具有这个性质的最小三位数为a，最大三位数为b，则a+b=    ．

7. 难度：中等

若P为质数，P³+9仍为质数，则P²-7=    ．

8. 难度：中等

已知a、b为质数且是方程x²-13x+c=0的根，那么的值是    ．

二、选择题

9. 难度：中等

若正整数a、b、c满足a²+b²=c²，a为质数，那么b、c两数（ ）
A．同为奇数
B．同为偶数
C．一奇一偶
D．同为合数

三、解答题

10. 难度：中等

已知x₁、x₂、x₃、…、x_n都是+1或-1，并且，求证：n是4的倍数．

11. 难度：中等

有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着．现将其顺序编号为1，2，3，…，1997．将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？