新课标九年级数学竞赛培训第23讲：圆与圆（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，⊙O₁与半径为4的⊙O₂内切于点A，⊙O₁经过圆心O₂，作⊙O₂的直径BC交⊙O₁于点D，EF为过点A的公切线，若O₂D=，那么∠BAF=    度．

2. 难度：中等

⊙O₁和⊙O₂交于A、B两点，且⊙O₁经过点O₂，若∠AO₁B=90°，那么∠AO₂B的度数是    ．

3. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，若分别以点A，C为圆心的两圆相切，点D在⊙C内，点B在⊙C外，则⊙A的半径r的取值范围是    ．

4. 难度：中等

如图；⊙O_l、⊙O₂相交于点A、B，现给出4个命题：
（1）若AC是⊙O₂的切线且交⊙O_l于点C，AD是⊙O_l的切线且交⊙O₂于点D，则AB²=BC•BD；
（2）连接AB、O_lO₂，若O_lA=15cm，O₂A=20cm，AB=24cm，则O_lO₂=25cm；
（3）若CA是⊙O_l的直径，DA是⊙O₂的一条非直径的弦，且点D、B不重合，则C、B、D三点不在同一条直线上，
（4）若过点A作⊙O_l的切线交⊙O₂于点D，直线DB交⊙O_l于点C，直线CA交⊙O₂于点E，连接DE，则DE²=DB•DC，则正确命题的序号是    （写出所有正确命题的序号）．

5. 难度：中等

如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O₁与AB切于点M，设⊙O₁的半径为y，AM的长为x，则y关于x的函数关系式是    （要求写出自变量x的取值范围）．

6. 难度：中等

已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为    ．

7. 难度：中等

如图，7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为    ．

二、选择题

8. 难度：中等

如图，⊙O_l与⊙O₂外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O₁相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O_l与⊙O₂的半径之比为（ ）

A．2：5
B．1：2
C．1：3
D．2：3

9. 难度：中等

如图，有一施工工地上有三根直径为1m的水泥管道两两相切地叠放在一起，则其最高点到地面的距离为（ ）

A．2
B．1+
C．
D．1+

10. 难度：中等

如图，已知⊙O₁、⊙O₂相交于A、B两点，且点O₁在⊙O₂上，过A作⊙O₁的切线AC交BO₁的延长线于点P，交⊙O₂于点C，BP交⊙O₁于点D，若PD=1，PA=，则AC的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图，⊙O_l和⊙O₂外切于A，PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点．①PB=AB；②∠PBA=∠PAB；③△PAB∽△O_lAB；④PB•PC=O_lA•O₂A．上述结论，正确结论的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

两圆的半径分别是R和r（R＞r），圆心距为d，若关于x的方程x²-2rx+（R-d）²=0有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（ ）
A．一定内切
B．一定外切
C．相交
D．内切或外切

13. 难度：中等

如图，⊙O_l和⊙O₂内切于点P，⊙O₂的弦AB经过⊙O_l的圆心O_l，交⊙O_l于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O_l与⊙O₂的直径之比为（ ）

A．2：7
B．2：5
C．2：3
D．1：3

14. 难度：中等

如图，⊙O₁与⊙O₂相交，P是⊙O₁上的一点，过P点作⊙O₁或⊙O₂的切线，则切线的条数可能是（ ）

A．1，2
B．1，3
C．1，2，3
D．1，2，3，4

15. 难度：中等

如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立（ ）

A．有内切圆无外接圆
B．有外接圆无内切圆
C．既有内切圆，也有外接圆
D．以上情况都不对

三、解答题

16. 难度：中等

如图：已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，P是⊙O₁上一点，PB的延长线交⊙O₂于点C，PA交⊙O₂于点D，CD的延长线交⊙O₁于点N．
（1）过点A作AE∥CN交⊙O₁于点E，求证：PA=PE；
（2）连接PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．

17. 难度：中等

如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连接OD并延长交大圆于点E，连接BE交AC于点F，已知AC=，大、小两圆半径差为2．
（1）求大圆半径长；
（2）求线段BF的长；
（3）求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．

18. 难度：中等

如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O₁的圆心O₁在OA上，并与弧AB内切于点A，半圆O₂的圆心O₂在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆O₁与半圆O₂相切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y．
（1）试建立以x为自变量的函数y的解析式；
（2）求函数y的最小值．

19. 难度：中等

如图，⊙O_l和⊙O₂内切于点P，过点P的直线交⊙O_l于点D，交⊙O₂于点E，DA与⊙O₂相切，切点为C．
（1）求证：PC平分∠APD；
（2）求证：PD•PA=PC²+AC•DC；
（3）若PE=3，PA=6，求PC的长．

20. 难度：中等

如图，已知⊙O_l和⊙O₂外切于A，BC是⊙O_l和⊙O₂的公切线，切点为B、C，连接BA并延长交⊙O_l于D，过D点作CB的平行线交⊙O₂于E、F，
（1）求证：CD是⊙O_l的直径；
（2）试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．

21. 难度：中等

已知：如图，A是⊙O₁、⊙O₂的一个交点，点M是O₁O₂的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O₁、⊙O₂于B、C．
（1）求证：AB=AC；
（2）若O₁A切⊙O₂于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d_l、d₂，求证：d₁+d₂=O₁O₂；
（3）在（2）条件下，若d₁d₂=1，设⊙O₁、⊙O₃的半径分别为R、r，求证：R²+r²=．

22. 难度：中等

已知：如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．
（1）求证：BC是⊙P的切线；
（2）若CD=2，CB=，求EF的长；
（3）求以BP、EF为根的一元二次方程．