2005年浙江省湖州市“期望杯”数学竞赛试卷（初三组）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果多项式p=a²+2b²+2a+4b+2008，则p的最小值是（ ）
A．2005
B．2006
C．2007
D．2008

2. 难度：中等

如图，图中平行四边形共有的个数是（ ）

A．40
B．38
C．36
D．30

3. 难度：中等

对于方程2^2a-3^2b=55，共有几对整数解（ ）
A．0
B．1
C．3
D．5

4. 难度：中等

如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为（ ）

A．3
B．4
C．
D．

5. 难度：中等

某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：
甲说：“902班得冠军，904班得第三”；
乙说：“901班得第四，903班得亚军”；
丙说：“903班得第三，904班得冠军”．
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（ ）
A．901班
B．902班
C．903班
D．904班

6. 难度：中等

设x₁、x₂是二次方程x²+x-3=0的两个根，那么x₁³-4x₂²+19的值等于（ ）
A．-4
B．8
C．6
D．0

二、填空题

7. 难度：中等

观察图形，用S_i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S₁+S₂+S₃+…+S_n＞10，则n的最小值为    ．

8. 难度：中等

如果一个凸n边形恰有4个内角是钝角，那么，这个多边形的边数n最多为    ．

9. 难度：中等

在直角坐标系中有三点A（0，-1），B（1，3）C（2，6）．已知直线y=ax+b上横坐标为0，1，2的点分别为D，E，F，试求a，b的值使AD²+BE²+CF²达到最小值    ．

10. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是    cm．

11. 难度：中等

设x*y定义为x*y=（x+1）（y+1），x^*2定义为x^*2=x*x，则多项式3*（x^*2）-2*x+1，当x=2时的值为    ．

12. 难度：中等

黄冈市某超市对顾客优惠购物，规定如下：
①一次购物少于100元，则不予优惠；
②一次购物满100元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；
③一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠；
小李两次去该超市购物，分别付款99元和530元，现在小张决定一次去购买小李分两次购买的同样多的物品，小张需付    元．

三、解答题

13. 难度：中等

如图所示，直线y=-2x+8与两坐标轴分别交于P、Q两点，在线段PQ上有一点A，过点A分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为B、C．若矩形ABOC的面积为5，求点A坐标．

14. 难度：中等

如图，OA是⊙O的半径，延长OA至B，使OA=AB，C是OA的中点，D是圆周上的点，连接CD、BD
求证：BD=2CD．

15. 难度：中等

已知y=m²+m+4，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）
（1）求a、b、c的值；
（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2008证明你的结论．