2007年广东省广州市初中数学青年教师解题比赛决赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对于实数a，下列运算正确的是（ ）
A．2a^-1=1÷（2a）
B．2a²+a=3a³
C．（-a）³•a²=-a⁶
D．（-a）²×（-a²）=-a⁴

2. 难度：中等

给出以下三个命题：①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的和有可能是有理数；③两个无理数的和一定是实数．其中正确的命题是（ ）
A．①和②
B．①和③
C．②和③
D．③

3. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于P，则等于（ ）

A．sin∠BPC
B．cos∠BPC
C．tan∠BPC
D．cot∠BPC

4. 难度：中等

如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．图（1）、图（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ）
A．3个球
B．4个球
C．5个球
D．6个球

5. 难度：中等

如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式的值等于（ ）

A．
B．-6
C．
D．6

6. 难度：中等

如图，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（ ）

A．a：b：c
B．：：
C．cosA：cosB：cosC
D．sinA：sinB：sinC

7. 难度：中等

设b＞a，在同一平面直角坐标系内，一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（ ）

A．-
B．-
C．-1
D．-2

二、填空题

9. 难度：中等

随机掷一枚均匀的正方体骰子（正方体骰子的六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），每次实验掷两次，则每次实验中掷两次骰子的点数之和为6的概率是    ．

10. 难度：中等

如果关于x的方程x²+2（a+1）x+2a+1=0有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=    ．

12. 难度：中等

已知x²-x-1=0，那么代数式x³-2x+1的值是    ．

13. 难度：中等

已知x，y，z为实数，且x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的取值范围为     ．

14. 难度：中等

已知正方形ABCD的面积35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点，AF和CE相交于点G，并且△ABF的面积为5平方厘米，△BCE的面积为14平方厘米，那么四边形BEGF的面积是    平方厘米．

三、解答题

15. 难度：中等

已知-1＜a＜0，A=1+a²，B=1-a²，，试比较A、B、C的大小，并说明理由．

16. 难度：中等

在△ABC中，AB=40，AC=60，以A为圆心，AB的长为半径作圆交BC边于D，若BD和DC的长均为正整数，求BC的长．

17. 难度：中等

如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积．

18. 难度：中等

在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．

19. 难度：中等

如图，在梯形PMNQ中，PQ∥MN，对角线PN和MQ相交于点O，并把梯形分成四部分，记这四部分的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄．试判断S₁+S₂和S₃+S₄的大小关系，并证明你的结论．

20. 难度：中等

已知y=m²+m+4，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）
（1）求a、b、c的值；
（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2008证明你的结论．