2007年广东省深圳市东湖中学九年级数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a²+b²+c²-ab-bc-ac的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

2. 难度：中等

客运列车在哈尔滨与A站之间运行，沿途要停靠5个车站，那么哈尔滨与A站之间需要安排（ ）种不同的车票．
A．6
B．7
C．21
D．42

3. 难度：中等

满足（n²-n-1）ⁿ⁺²=1的整数n有几个（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

4. 难度：中等

某种T恤衫的进价为400元，出售时标价为600元，由于换季商店准备打折销售，但要保持利润不低于5%，那么至多打（ ）
A．6折
B．7折
C．8折
D．9折

5. 难度：中等

铁板甲形状是等腰三角形，其顶角为45°，腰长为20cm，铁板乙的形状是直角梯形，两底分别为7cm，16cm，且有一个角为60°，现在我们把这两块铁板任意翻转，分别试图从一个直径为14cm的圆洞中穿过，若不考虑铁板厚度，则结果是（ ）
A．甲能穿过，乙不能穿过
B．甲不能穿过，乙能穿过
C．甲、乙都能穿过
D．甲、乙都不能穿过

二、填空题

6. 难度：中等

已知a、b是一元二次方程x²-x-1=0的两个根，则代数式3a²+2b²-3a-2b的值等于    ．

7. 难度：中等

设m=+1，那么的整数部分是    ．

8. 难度：中等

等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形一边的一半，则其顶角为    ．

9. 难度：中等

如图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作（见下图）．按上边规则，完成五次操作以后，再剪去所得小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸片后，一共有    个小孔．

10. 难度：中等

在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=10，EC=14，点P是BD上的一动点，则PE+PC的最小值是    ．

三、解答题

11. 难度：中等

如图所示，直线y=-2x+8与两坐标轴分别交于P、Q两点，在线段PQ上有一点A，过点A分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为B、C．若矩形ABOC的面积为5，求点A坐标．

12. 难度：中等

如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积．

13. 难度：中等

【附加题】已知二次函数y=x²+2（m+1）x-m+1．
（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．
（2）如果直线y=x+1经过二次函数y=x²+2（m+1）x-m+1图象的顶点P，求此时m的值．

14. 难度：中等

已知y=m²+m+4，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）
（1）求a、b、c的值；
（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2008证明你的结论．