初三奥赛训练题04：一元二次方程的整数与有理根（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知k为整数，且关于x的二次方程（k²-1）x²-3（3k-1）x+18=0有两个不等的正整数根，则k=    ．

2. 难度：中等

设一元二次方程x²-3x+a-4=0的两根均为整数，且两根同号，则a=    ．

3. 难度：中等

方程（x-a ）（x-8 ）-1=0有两个整数根，则a的值是    ．

4. 难度：中等

若p，q都是正整数，方程的两根都是质数，则2p+q=    ．

5. 难度：中等

已知p，q为自然数，方程2px²-qx+1990=0两根都是质数，则p+q=    ．

6. 难度：中等

若p是质数，且方程x²+px-444p=0的两根均为整数，则p=    ．

7. 难度：中等

设方程x²+px+q=0的两根x₁，x₂均为正整数，若p+q=28，则（x₁-1）（x₂-1）=    ．

8. 难度：中等

如果a为有理数，要使方程2x²+（a+1）x-（3a²-4a+b）=0的根总是有理数，则b的值应为    ．

9. 难度：中等

设关于x的二次方程（a-1）x²-（a²+a+1）x+2a²+a=0当a    时，此方程至少有一个正整数解；当a    时，此方程有两个正整数解；当a    时，此方程有两个负整数解．

10. 难度：中等

若k是自然数，且关于x的二次方程（k-1）x²-px+k=0有两个正整数根，则k^kp•（p^p+k^k）+k^k-p+2+kp+1=    ．

11. 难度：中等

两个质数p，q恰是整系数方程x²-99x+m=0的两根，则=    ．

12. 难度：中等

若二次方程ax²+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根，则自然数a=    ．

13. 难度：中等

若正整系数二次方程4x²+mx+n=0有相异的两个有理根p，q，且p＞q，又方程x²-px+2q=0与方程x²-qx+2p=0有一公共根，则方程x²-px+2q=0的另一根为    ．

14. 难度：中等

设a，b，c为三角形ABC的三边，且满足
（1）a＞b＞c；
（2）2b=a+c；
（3）a²+b²+c²=84，则整数b=    ．

15. 难度：中等

象棋比赛中每个选手都和其他选手恰好比赛一局，每局赢者得2分，输者得0分，平局各记1分，今有四个同学统计了比赛中全部选手得分总数情况分别是1980、1983、1989、1991，经核实确有一个同学统计无误，这次比赛中有    名选手参加比赛．

二、选择题

16. 难度：中等

设p是质数，如果方程x²-px-580p=0的两根均为整数，则（ ）
A．0＜p＜10
B．10＜p＜20
C．20＜p＜30
D．30＜p＜40

17. 难度：中等

设m，n为整数，则方程x²+10mx+5n+3=0和方程x²+10mx+5n-3=0必定（ ）
A．至少有一个有整数根
B．均无整数根
C．仅有一个有整数根
D．均有整数根

18. 难度：中等

关于x的一元二次方程x²+2mx+2n-1=0（m、n都是整数）如果有一个整数根α，则对它的另一根β所作的如下断言中正确的是（ ）
A．β不是整数
B．β一定是整数
C．β一定是奇数
D．β一定是偶数

19. 难度：中等

若方程x²-mnx+m+n=0有整数根，且m、n为正整数，则m•n的值有（ ）
A．1个
B．3个
C．5个
D．无数个

三、解答题

20. 难度：中等

若x，y为正整数，使得x²+y²-x能被2xy整除，证明：x为完全平方数．

21. 难度：中等

M为何整数时，9m²+5m+26能分解成两个连续自然数之积．

22. 难度：中等

已知方程x²+bx+c=0及x²+cx+b=0分别各有两个整数根且两根均同号，求证：b-1≤c≤b+1．