2008年12月浙江省宁波市余姚市世南中学九年级数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

将正偶数按下表排成5列

	第一列	第二列	第三列	第四列	第五列
第一行		2	4	6	8
第二行	16	14	12	10
第三行		18	20	22	24
第四行	…	…	28	26
…

则2004应该排在（ ）
A．第251行，第3列
B．第250行，第1列
C．第500行，第2列
D．第501行，第5列

2. 难度：中等

如图，在一个棱长为6cm的正方体上摆放另一个正方体，使得上面正方体的四个顶点恰好均落在下面正方体的四条棱上，则上面正方体体积的可能值有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个

3. 难度：中等

轮船在河流中逆流而上，下午5时，船长发现轮船上的一橡皮艇失落水中，船长马上命令掉转船头寻找，经过了一个小时追上了顺流而下的橡皮艇．如果轮船在整个过程中的动力不变，那么据此判断，轮船失落橡皮艇的时间为（ ）
A．下午1点
B．下午2点
C．下午3点
D．下午4点

4. 难度：中等

某同学用牙膏纸盒制作一个如图所示的笔筒，笔筒的筒底为长4.5厘米，宽3.4厘米的矩形．则该笔筒最多能放半径为0.4厘米的圆柱形铅笔（ ）

A．20支
B．21支
C．22支
D．25支

5. 难度：中等

对于直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“距离”：
||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||²+||CB||²=||AB||²；
③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．其中真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

已知一元二次方程ax²+bx+c=0两根为x₁，x₂，x₂+x₁=-，x₂．x₁=．如果抛物线y=ax²+bx+c经过点（1，2），若abc=4，且a≥b≥c，则|a|+|b|+|c|的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

二、解答题

7. 难度：中等

已知，y=4cosx•sinx+2cosx-2sinx-1，0≤x≤90°．问x为______值时，y可以取非负值．

8. 难度：中等

有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，且底CD的端点在圆周上，试写出梯形周长y和腰长x的函数关系式______．

9. 难度：中等

在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，能完全覆盖△ABC的圆的半径R的最小值为______．

10. 难度：中等

如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=l，若李华在点A朝着影子的方向以v₁匀速行走，则他影子的顶端在地面上移动的速度v₂为______．

11. 难度：中等

如图，延长四边形ABCD的四边分别至E、F、G、H，使AB=nBE，BC=nCF，CD=nDG，DA=nAH（n＞0），则四边形EFGH与四边形ABCD的面积之比为______（用含n的代数式表示）．

12. 难度：中等

已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系为______．

13. 难度：中等

设多边形A₁A₂A₃…A_n中，有m个点B₁，B₂，B₃，…，B_m，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（n=6，m=4时的情形如图），称每个小三角形为一个“网眼“，求网中共有______个“网眼”（用含n，m的代数式表示）．

14. 难度：中等

有10个不同的球，其中有2个红球，3个白球，5个黄球．若取得1个红球得5分；取得1个白球得2分；1个黄球得1分．今从中取出5个球，求使总分大于10分且小于15分的取法有多少种？

15. 难度：中等

在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素分别相等，这两个三角形也未必全等．
（1）试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长．
（2）为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）．

16. 难度：中等

对于某一自变量为x的函数，若当x=x时，其函数值也为x，则称点（x，x）为此函数的不动点．现有函数y=，
（1）若y=有不动点（4，4），（-4，-4），求a，b；
（2）若函数y=的图象上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件；
（3）已知a=4时，函数y=仍有两个关于原点对称的不动点，则此时函数y=的图象与函数y=的图象有什么关系？与函数y=的图象又有什么关系？

17. 难度：中等

（1）如图1，直线AB交x轴于点A（2，0），交抛物线y=ax²于点B（1，），点C到△OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D．当x＞0时，在直线OC和抛物线y=ax²上是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为特殊的梯形？若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．
（2）在（1）题中，抛物线的解析式和点D的坐标不变（如图2）．当x＞0时，在直线y=kx（0＜k＜1）和这条抛物线上，是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为以OD为底的等腰梯形．若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．