竞赛辅导：根与系数的关系2（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果a，b为质数，且a²-13a+m=0，b²-13b+m=0，那么的值为（ ）
A．
B．或2
C．
D．或2

二、填空题

2. 难度：中等

已知两数积ab≠1．且2a²[phone]a+3=0，3b²[phone]b+2=0，则=    ．

3. 难度：中等

若方程（x²-1）（x²-4）=k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k=    ．

三、解答题

4. 难度：中等

已知方程（2000x）²-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x²+1998x-1999=0的较小根为β，求α-β的值．

5. 难度：中等

已知二次方程x²-3x+1=0的两根为α、β，求①|α-β|；②α³+β³；③α³-β³；④

6. 难度：中等

已知二次方程x²+x-1=0的两根为α、β，求2α⁵+β³的值．

7. 难度：中等

已知二次方程x²+5x+2=0的两根为α、β，求①2α+β；②的值．

8. 难度：中等

已知二次方程x²-px+q=0的两根为α、β，求
①以α³、β³为根的一元二次方程；
②若以α³、β³为根的一元二次方程仍是x²-px+q=0，求所有这样的一元二次方程．

9. 难度：中等

已知实数a，b分别满足3a⁴+2a²-4=0和b⁴+b²-3=0，求的值．

10. 难度：中等

已知实数x，y，z满足x=6-y，z²=xy-9，求证：x=y．

11. 难度：中等

已知实数a、b满足a²+ab+b²=1，且t=ab-a²-b²，求t的取值范围．

12. 难度：中等

已知x₁、x₂是方程4x²-（3m-5）x-6m²=0的两根，且，求m的值．

13. 难度：中等

已知x₁，x₂是方程x²-（k-2）x+（k²+3k+5）=0的两个实数根，求x₁²+x₂²的最大值和最小值．

14. 难度：中等

已知方程x²-11x+（30+k）=0的两根都比5大，求实数k的取值范围．

15. 难度：中等

如图，已知：在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DCB=∠DAB=90°，BD=2，则四边形ABCD面积为______

16. 难度：中等

设m是不小于-1的实数，关于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，
（1）若x₁²+x₂²=6，求m值；
（2）求的最大值．

17. 难度：中等

已知：关于x的方程有实根．
（1）求a取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x₁，x₂，且，求a的值．