2010年甘肃省酒泉市三中九年级奥赛班数学选拔试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

晓明家到学校的路程是3500米，晓明每天早上7：30离家步行去上学，在8：10（含8：10）至8：20（含8：20）之间到达学校．如果设晓明步行的速度为x米/分，则晓明步行的速度范围是（ ）
A．70≤x≤87.5
B．x≤70或x≥87.5
C．x≤70
D．x≥87.5

3. 难度：中等

如图是公园的路线图，⊙O₁，⊙O₂，⊙O两两相切，点A，B，O分别是切点，甲乙二人骑自行车，同时从点A出发，以相同的速度，甲按照“圆”形线行驶，乙行驶“8字型”线路行驶．若不考虑其他因素，结果先回到出发点的人是（ ）

A．甲
B．乙
C．甲乙同时
D．无法判定

4. 难度：中等

如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O左0°～90°的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n关系的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

一个圆锥形冰淇淋纸筒（无盖），其底面直径为6cm，母线长为5cm，做成一个这样的纸筒所需纸片的面积是（ ）
A．66πcm²
B．28πcm²
C．30πcm²
D．15πcm²

6. 难度：中等

下列图象不是函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

一容器内有一红茶细菌，逐日成倍增长繁殖，第20天繁殖满整个容器，那么繁殖到第几天细菌占容器的一半（ ）
A．10
B．5
C．15
D．19

8. 难度：中等

正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（ ）

A．
B．
C．
D．2

9. 难度：中等

在△ABC中，∠A=30°，AB=4，BC=，则∠B为（ ）
A．30°
B．90°
C．30°或60°
D．30°或90°

10. 难度：中等

抛物线y=x²+x+p（p≠0）与x轴相交，其中一个交点的横坐标是p．那么该抛物线的顶点的坐标是（ ）
A．（0，-2）
B．
C．
D．）

二、填空题

11. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，它的顶点的横坐标为-1，由图象可知关于x的方程ax²+bx+c=0的两根为x₁=1，x₂=    ．

12. 难度：中等

观察下列图形，若将一个正方形平均分成n²个小正方形，则一条直线最多可穿过    个小正方形．

13. 难度：中等

若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是     ．

14. 难度：中等

在函数y=中，自变量x的取值范围是     ．

15. 难度：中等

一宽为1cm的刻度尺在半径为5cm的圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切，另一边与圆有两个交点时，其中一个交点对应的读数恰好为“8”（单位：cm），则另一个交点对应的读数为    （单位：cm）

16. 难度：中等

如图，点O是∠EPF的平分线上一点，⊙O和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D，根据上述条件，可以推出    ．（要求：填写一个你认为正确的结论即可，不再标注其他字母，不写推理过程）

17. 难度：中等

阅读理【解析】

符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为：=ad-bc，例如=3×6-4×5=18-20=-2，请根据阅读理解化简下面的二阶行列式：=    ．

18. 难度：中等

若2x+5y-3=0，则4^x•32^y的值为     ．

三、解答题

19. 难度：中等

已知：如图，在▱ABCD中，点E在AD上，BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线．
求证：BC=2AB．

20. 难度：中等

计算：．

21. 难度：中等

探究下表中的奥秘，并完成填空：

一元二次方程	两个根	二次三项式因式分解
x^2-2x+1=0	x1=1，x2=1	x^2-2x+1=（x-1）（x-1）
x^2-3x+2=0	x1=1，x2=2	x^2-3x+2=（x-1）（x-2）
3x^2+x-2=0	x1=______，x2=-1	3x^2+x-2=3（x-______）（x+1）
2x^2+5x+2=0	x1=______，x2=-2	2x^2+5x+2=2（x+______）（x+2）
4x^2+13x+3=0	x1=______，x2=______	4x^2+13x+3=4（x+______）（x+______）

22. 难度：中等

如图，点A是反比例函数的图象与一次函数y=x+k的图象的一个交点，AC垂直x轴于点C，AD垂直y轴于点D，且矩形OCAD的面积为2．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求这两个函数图象的另一个交点B的坐标．

23. 难度：中等

如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C．小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船速度的2倍，军舰在由B到C航行的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里，≈2.45）

24. 难度：中等

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．

25. 难度：中等

天水市某蔬菜基地有120吨新鲜蔬菜，计划用A，B两种货运车运往外地销售，已知A种车能装载5吨，B种车能装载6吨．
（1）若有A，B两种车共22辆，在满载情况下，能将这些蔬菜全部运完，那么A，B两种车各有多少辆？
（2）若A种车每辆每趟运费为1500元，B种车每辆每趟运费为1700元，要在车辆满载、且总运费不超过34 500元的情况下，将蔬菜全部运完．应怎样选择最佳配车方案？

26. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．

27. 难度：中等

已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象有一个交点的横坐标是2．
（1）求两个函数图象的交点坐标；
（2）若点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是反比例函数y=图象上的两点，且x₁＜x₂，试比较y₁，y₂的大小．

28. 难度：中等

在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．
（1）求直线CB的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；
（3）试判断点C是否在抛物线上；
（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？直接写出两组这样的点．

29. 难度：中等

解方程x（x-1）=2．
有学生给出如下解法：
∵x（x-1）=2=1×2=（-1）×（-2），
∴，或，或，或．
解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得x=2或x=-1．
∴x=2或x=-1．
请问：这个解法对吗？试说明你的理由．如果你觉得这个解法不对，请你求出方程的解．

30. 难度：中等

对于有理数x、y，定义新运算：x*y=ax+by，其中a、b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知1*2=9，（-3）*3=6，求2*（-7）的值．