2008年全国初中数学竞赛（广东省广州市从化市）预选赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

化简的结果为（ ）
A．2
B．2
C．0
D．x+2

2. 难度：中等

实数a、b满足ab=1，若，则P、Q的关系为（ ）
A．P＞Q
B．P＜Q
C．P=Q
D．P=（a+b）Q

3. 难度：中等

某商场对顾客实行优惠，规定：
（1）如一次购物不超过200元，则不予折扣；
（2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；
（3）如一次购物超过500元的，其中500元按第（2）条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元与423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（ ）
A．522.8元
B．510.4元
C．560.4元
D．472.8元

4. 难度：中等

在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=8，CE=6，那么△ABC的面积等于（ ）
A．24
B．32
C．36
D．48

5. 难度：中等

在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（ ）
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个

6. 难度：中等

已知a，b，c，d是非零实数，c和d是方程x²+ax+b=0的解，a和b是方程x²+cx+d=0的解，则a+b+c+d的值为（ ）
A．-1
B．2
C．1
D．-2

二、填空题

7. 难度：中等

化简：•-=    ．

8. 难度：中等

如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=    ．

9. 难度：中等

三条边长分别为2、3、8的等腰梯形的周长是    ．

10. 难度：中等

已知直线y=-2x+3与抛物线y=x²相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于    ．

11. 难度：中等

如图，D、E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等．若BC=a，AC=b，AB=c，则BD的长为    ．

12. 难度：中等

设a，b，c表示一个三角形三边的长，且它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果b=2008，则满足此条件的三角形共有    个．

三、解答题

13. 难度：中等

若关于x的方程（k²-2k）x²-（6k-4）x+8=0的解都是整数，试求实数k的值．

14. 难度：中等

设a，b都是正整数，若二次函数y=a²+bx+1的图象与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标x₁，x₂，满足-1＜x₁＜x₂＜0，
求：正整数a，b的最小值及此时x₁，x₂的值．

15. 难度：中等

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，点E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
（1）四边形EGFH是什么特殊四边形？为什么？
（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？
（3）若（2）中菱形EGFH是正方形，试求等腰梯形的面积．

16. 难度：中等

已知圆P的圆心在反比例函数y=（k＞1）图象上，并与x轴相交于A、B两点．且始终与y轴相切于定点C（0，1）．
（1）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；
（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形．

17. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=12，设过A，B，C三点的⊙O₁与边CD相交于点E，且，直线CB与过A，D，C三点⊙O₂的相切．
（1）求边CD的长度；
（2）设⊙O₁，⊙O₂的半径分别为r₁，r₂，求的取值范围．