2010年12月湖南省株洲市初三数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列各式的计算结果中，与2010最接近的是（ ）
A．
B．1000π
C．58×42
D．48.3²-2×8.3×48.3+8.3²

2. 难度：中等

下面四个命题：
①分解因式x²-5x+6等于（x-2）（x-3）；
②；
③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；
④同时抛掷两枚硬币，两枚硬币都正面朝上的概率是．
其中正确的命题的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

3. 难度：中等

已知：三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则ax³+bx²+cx+1的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．-1

4. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，△DEF的面积等于2，则此正方形ABCD的面积等于（ ）

A．6
B．12
C．16
D．20

5. 难度：中等

如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AD为∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AC=4，则△BDE的周长为（ ）

A．4
B．6
C．
D．

6. 难度：中等

某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该队伍有20名同学，统计表如下表．由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到．

鞋码	38	39	40	41	42
人数	5	■	■	3	2

下列说法中正确的是（ ）
A．这组数据的中位数是40，众数是39
B．这组数据的中位数与众数一定相等
C．这组数据的平均数P满足39＜P＜40
D．以上说法都不对

7. 难度：中等

水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图1所示，出水口的出水量与时间关系如图2所示，某天0点到6点该水池的蓄水量与时间关系如图3所示，下列论断：
①0点到1点，打开2个进水口，关闭出水口；
②1点到3点，同时关闭2个进水口和1个出水口；
③3点到4点，关闭2个进水口，打开出水口；
④5点到6点，同时打开2个进水口和1个出水口．其中可能正确的论断是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

8. 难度：中等

如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2007次，点P依次落在点P₁，P₂，P₃，P₄，…，P₂₀₀₇的位置，则P₂₀₀₇的横坐标x₂₀₀₇=（ ）
A．2001
B．2004
C．2006
D．2010

二、填空题

9. 难度：中等

已知，a=-1，b=2，则式子+=    ．

10. 难度：中等

一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y的值为1≤y≤9，则kb的值为    ．

11. 难度：中等

如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则∠1+∠2=    度．

12. 难度：中等

正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…按如图所示的方式放置．点A₁，A₂，A₃，…和点C₁，C₂，C₃，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B₁（1，1），B₂（3，2），则B_n的坐标是    ．

13. 难度：中等

学生甲、乙、丙三人竞选学校的学生会主席，选举时收到有效选票1500张，统计其中1000张选票的结果是：甲350张，乙370张，丙280张，则甲在剩下的500张选票中至少再得     票，才能保证以得票最多当选该校的学生会主席．

14. 难度：中等

六个面上分别标有1，1，2，3，3，5六个数字的均匀六方体表面如图所示，掷这个六方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．按照这样的规定，每掷一次该六方体，就能得到平面内的一个点的坐标．已知小明前两次掷得的两个点能确定一条直线l，且这条直线l经过点（4，7）．那么，他第三次掷得的点也在这条直线上的概率是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根x₁和x₂．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x₁²-x₂²=0时，求m的值．

16. 难度：中等

小刚和小强在一条由西向东的公路上行走，出发时间相同，小强从 A 出发，小刚从A往东的B处出发，两人到达C地后都停止．设两人行走x分钟后，小强、小刚离B的距离分别为y₁、y₂（m），y₁、y₂与x的函数关系如图所示：
（1）根据图象可得：A、C两地间的距离为______m；a=______．
（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）由于有雾，两人的距离不超过50m时才能够相互望见，求小强过了B地后至小刚到达C地前，小强可以望见小刚时x的取值范围．

17. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C，
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=2，AD=3，BE=2，求BF的长．

18. 难度：中等

某班参加一次智力竞赛，共a，b，c三题，每题或者得满分或者得0分．其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分．竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？