新课标九年级数学竞赛培训第12讲：方程与函数（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若关于的方程|1-x|=mx有解，则实数m的取值范围    ．

2. 难度：中等

已知关于x的函数y=（m+6）x²+2（m-1）x+m+1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是    ．

3. 难度：中等

已知抛物线y=x²-（k-1）x-3k-2与x轴交于A （α，0），B（β，0）两点，且α²+β²=17，则k=    ．

4. 难度：中等

已知二次函数y=kx²+（2k-1）x-1与x轴交点的横坐标为x₁、x₂（x₁＜x₂），则对于下列结论：①当x=-2时，y=1；②当x＞x₁时，y＞0；③方程kx²+（2k-1）x-1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂；④x₁＜-1，x₂＞-1；⑤，其中所有正确的结论是    （只需填写序号）．

5. 难度：中等

设m是整数，且方程3x²+mx-2=0的两根都大于-而小于，则m=    ．

6. 难度：中等

函数y=x²-3|x|+7的图象与函数y=x²-3x+|x²-3x|+6的图象的交点个数是    ．

7. 难度：中等

已知a、b为抛物线y=（x-c）（x-c-d）-2与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a-c|+|c-b|的值为    ．

二、选择题

8. 难度：中等

设关于x的方程ax²+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x₁、x₂，且x₁＜1＜x₂，那么实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设函数y=x²-（m+1）x-4（m+5）的图象如图，它与x轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长度之比为1：4，那么m的值为（ ）

A．8
B．-4
C．11
D．4或11

10. 难度：中等

已知：二次函数y=x²+bx+c与x轴相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，其顶点坐标为P（-，），AB=|x₁-x₂|，若S_△APB=1，则b与c的关系式是（ ）
A．b²-4c+1=0
B．b²-4c-1=0
C．b²-4c+4=0
D．b²-4c-4=0

11. 难度：中等

已知方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞-1
B．a=1
C．a≥1
D．非上述答案

三、解答题

12. 难度：中等

已知抛物线y=x²+（1-2a）x+a²（a≠0）与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁≠x₂）．
（1）求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；
（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=OC-2，求a的值．

13. 难度：中等

抛物线与y轴的正半轴交于点C，与x轴交于A、B两点，并且点B在A的右边，△ABC的面积是△OAC面积的3倍．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）判断△OBC与△OCA是否相似，并说明理由．

14. 难度：中等

已知抛物线y=x²+px+q上有一点M（x，y）位于x轴下方．
（1）求证：此抛物线与x轴交于两点；
（2）设此抛物线与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，求证：x₁＜x＜x₂．

15. 难度：中等

已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴上的两点，点A在点B的左侧，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．
（1）如图情况下：a、c的符号之间有何关系？
（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b=-4，AB=4，求a、c的值．

16. 难度：中等

已知：抛物线y=ax²+bx+c过点A（一1，4），其顶点的横坐标为，与x轴分别交于B（x₁，0）、C（x₂，0）两点（其中且x₁＜x₂），且x₁²+x₂²=13．
（1）求此抛物线的解析式及顶点E的坐标；
（2）设此抛物线与y轴交于D点，点P是抛物线上的点，若△PBO的面积为△DOC面积的倍，求点P的坐标．

17. 难度：中等

已知抛物线交x轴于A（x₁，0）、B（x₂，0），交y轴于C点，且x₁＜0＜x₂，（AO+OB）²=12CO+1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

是否存在这样的实数k，使得二次方程x²+（2k-1）x-（3k+2）=0有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试述理由．

19. 难度：中等

设抛物线y=的图象与x轴只有一个交点．
（1）求a的值；
（2）求a¹⁸+323a^-6的值．

20. 难度：中等

已知以x为自变量的二次函数y=4x²-8nx-3n-2，该二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于x的方程x²-（7n+6）x+2（n+1）（5n+4）=0的一整数根，求n的值．

21. 难度：中等

已知二次函数的图象开口向上且不过原点0，顶点坐标为（1，-2），与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且满足关系式OC²=OA•OB．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．

22. 难度：中等

设p是实数，二次函数y=x²-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x₁，0）、B（x₂，0）．
（1）求证：2px₁+x₂²+3p＞0；
（2）若A、B两点之间的距离不超过|2p-3|，求P的最大值．