2010年九年级语数外综合竞赛数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

关于x的方程x²+|x|-a²=0的所有实数根之和等于（ ）
A．-1
B．1
C．0
D．-a²

2. 难度：中等

现定义两种运算“⊕”“*”．对于任意两个整数，a⊕b=a+b-1，a*b=a×b-1，则（6⊕8）*（3⊕5）的结果是（ ）
A．60
B．90
C．112
D．69

3. 难度：中等

如图，已知圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处．则小虫所走的最短距离为（ ）

A．12
B．4π
C．
D．

4. 难度：中等

在Rt△ABC边上有一点P（点P不与点A、点B重合），过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足条件的直线共有（ ）
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条

5. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则下列式子中①abc＜0；②0＜b＜-2a；③；④a+b+c＜0成立的个数有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

6. 难度：中等

已知实数a满足|2008-a|+=a，那么a-2008²值是（ ）
A．2009
B．2008
C．2007
D．2006

二、填空题

7. 难度：中等

已知x²-x-1=0，那么代数式x³-2x+1的值是    ．

8. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转角α后到△A′B′C′的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，B在A′B′上，CA′交AB于D．则∠BDC的度数为    度．

9. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，将矩形ABCD沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是    ．

10. 难度：中等

五个互不相等自然数的平均数是15，中位数是18，则这五个数中最大数的最大值为     ．

三、解答题

11. 难度：中等

如图，△ABC和△DEF不相似，但∠A=∠D．能否将这两个三角形分别分割成两个三角形，使△ABC所分成的每个三角形与△DEF分成的每个三角形对应相似？如果能，请设计出一种分割方案．

12. 难度：中等

某超市去年12月份的销售额为100万元，今年2月份的销售额比今年1月份的销售额多24万元，若去年12月份到今年2月份每个月销售额增长的百分数相同．
求：（1）这个相同的百分数；
（2）2月份的销售额．

13. 难度：中等

如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC，BC，过A，B，C三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连接BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
第三问改成，在（2）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△PCD的面积是△BCD面积的三分之一，求此时点P的坐标．

14. 难度：中等

已知y=m²+m+4，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）
（1）求a、b、c的值；
（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2008证明你的结论．