初三奥赛训练题03：一元二次方程的根与系数的关系及其应用（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x₁，x₂，则x₁+x₂=    ，x₁x₂=    ．

2. 难度：中等

已知方程x²+px+q=0的两根为x₁，x₂，则可得x₁+x₂=    ，x₁•x₂=    ．

3. 难度：中等

对于一元二次方程x²+mx+n=0，如果两根互为相反数，那么m=    ，如果两根互为倒数，那么n=    ．

4. 难度：中等

以两数x₁，x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是    ．

5. 难度：中等

若两数和为3，积为-4，则这两个数分别为    ．

6. 难度：中等

和的根为方程是    ．

7. 难度：中等

不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：
（1）4x²+1=7x，x₁+x₂=    ，x₁•x₂=    ．
（2）3x²-1=0，x₁+x₂=    ，x₁•x₂=    ．
（3）x²-6x=0，x₁+x₂=    ，x₁•x₂=    ．
（4）2x²-（m+1）x-m=0，x₁+x₂=    ，x₁•x₂=    ．

8. 难度：中等

设一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁，x₂，
若x₁＞0，x₂＞0，则    ；
若x₁＜0，x₂＜0，则    ；
若x₁x₂＜0，则    ；
若x₁x₂＞0，则    ．

9. 难度：中等

设一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁，x₂，则|x₁-x₂|=    ．

10. 难度：中等

已知方程2x²-3x-4=0，不解方程求下列各式的值．
（1）=    ；
（2）x₁²+x₂²=    ；
（3）x₁³+x₂³=；
（4）=    ；
（5）（x₁+x₂）³-（x₁³+x₂³）=    ；
（6）x₁-x₂=    ．

11. 难度：中等

已知方程2x²-mx+3=0的两根的平方和为5，则m=    ．

12. 难度：中等

设方程（1998x）²-1997•1999x-1=0的大根为a，方程x²+1998x-1999=0的小根为b，则a-b=    ．

13. 难度：中等

设α、β分别是方程x²+x-1=0的两根，则2α⁵+5β³=    ．

14. 难度：中等

如果方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根之比等于常数k，则系数a，b，c之间的关系是    ．

15. 难度：中等

已知x₁，x₂是一元二次方程4x²-（3m-5）x-6m²=0的两个实数根，且，则    ．

16. 难度：中等

设x²-px+q=0的两实数根为α、β，那么α³、β³为两根的一元二次方程是    ．

17. 难度：中等

已知x₁，x₂是方程4ax²-4ax+a+4=0的两实根，是否能适当选取a的值，使得（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）的值等于    ．

18. 难度：中等

关于x的二次方程mx²-2（m-1）x-4=0（m≠0）的两根一个比1大，另一个比1小，则m的取值范围是    ．

19. 难度：中等

已知二次方程kx²+（2k-3）x+k-10=0的两根都是负数，则k的取值范围是    ．

20. 难度：中等

方程x²+2（m-1）x+m²+4=0的两个实根，且这两根的平方和比这两根之积大21，那么m=    ．