新课标九年级数学竞赛培训第02讲：判别式（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若关于y的一元二次方程（1-2m）y²+2y-1=0有实数根，则m的取值范围是    ．

2. 难度：中等

已知，若方程kx²+ax+b=0有两个相等的实数根，则k=    ．

3. 难度：中等

若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是    ．

4. 难度：中等

已知关于x方程有两个不相等的实数解，化简=    ．

5. 难度：中等

关于的两个方程x²+4mx+4m²+2m+3=0，x²+（2m+1）x+m²=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是    ．

6. 难度：中等

当a=    ，b=    时，方程x²+2（1+a）x+（3a²+4ab+4b²+2）=0有实数根．

7. 难度：中等

若方程|x²-5x|=a有且只有相异二实根，则a的取值范围是    ．

二、选择题

8. 难度：中等

已知三个关于y的方程：y²-y+a=0，（a-1）y²+2y+1=0和（a-2）y²+2y-1=0，若其中至少有两个方程有实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2
B．或1≤x≤2
C．a≥1
D．

9. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程（m-2）²x²+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞
B．m≥
C．m＞且m≠2
D．m≥且m≠2

10. 难度：中等

如果一直角三角形的三边为a，b，c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x²-1）-2cx+b（x²+1）=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定根的情况

11. 难度：中等

如果关于x的方程（m-2）x²-2（m-1）x+m=0只有一个实数根，那么方程mx²-（m+2）x+（4-m）=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．只有一个实数根

12. 难度：中等

如果关于x的方程mx²-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x的方程（m-5）x²-2（m+2）x+m=0的实根的个数（ ）
A．2
B．1
C．0
D．不能确定

13. 难度：中等

已知一元二次方程x²+bx+c=0，且b、c可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有（ ）
A．12个
B．10个
C．7个
D．5个

14. 难度：中等

已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足方程a²x²-（c²-a²-b²）x+b²=0，则方程根的情况是（ ）
A．有两相等实根
B．有两相异实根
C．无实根
D．不能确定

三、解答题

15. 难度：中等

已知关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

16. 难度：中等

设方程|x²+ax|=4，只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根．

17. 难度：中等

如图，已知矩形ABCD中，AD=a，DC=b，在AB上找一点E，使点E与点C、D的连线将矩形分成的三个三角形相似．设AE=x，请问这样的点E是否存在？若存在，这样的点E有几个？若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程x²+mx+2-m=0的两个实数根，求△ABC的周长．

19. 难度：中等

已知关于x的方程x²+2（2-m）x+3-6m=0．
（1）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；
（2）如果方程的两个实数根x₁、x₂满足x₁=3x₂，求实数m的值．

20. 难度：中等

a、b为实数，关于x的方程|x²+ax+b|=2有三个不等的实数根．
（1）求证：a²-4b-8=0；
（2）若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证：该三角形必有一个内角60°；
（3）若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值．

21. 难度：中等

解无理方程：3x²+15x+2=2

22. 难度：中等

已知三个实数a、b、c满足a+b+c=0，abc=1，求证：a、b、c中至少有一个大于•

23. 难度：中等

关于x的方程kx²-（k-1）x+1=0有有理根，求整数k的值．

24. 难度：中等

考虑方程（x²-10x+a）²=b①
（1）若a=24，求一个实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式．
（2）若a≥25，是否存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式？说明你的结论．

25. 难度：中等

如图，已知边长为a的正方形ABCD内接于边长为b的正方形EFGH，试求的取值范围．