2004年浙江省湖州市德清县初三数学通讯赛试卷（二）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若实数a、b、c、d满足，则的值是（ ）
A．1或0
B．-1或0
C．1或-2
D．1或-1

2. 难度：中等

下列五个命题：
①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三条边长是5；
②；=a，
③若点P（a，b）在第三象限，则点P′（-a，-b+1）在第一象限；
④连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形；
⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．
其中正确命题的个数是（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

3. 难度：中等

在平面直角坐标系内，已知点A（2，2），B（2，-3），点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

实数x、y满足方程x²+2y²-2xy+x-3y+1=0，则y的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．不存在

5. 难度：中等

如图所示，在△ABC中，M是边AB的中点，N是边AC上的点，且，CM与BN相交于点K，若△BCK的面积等于1，则△ABC的面积等于（ ）

A．3
B．
C．4
D．

6. 难度：中等

如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

7. 难度：中等

+++…+=    ．

8. 难度：中等

已知a，b是实数，若不等式（2a-b）x+3a-4b＜0的解是，则不等式（a-4b）x+2a-3b＞0的解是    ．

9. 难度：中等

已知a、b、c为实数，且多项式x³+ax²+bx+c能被x²+3x-4整除，则2a-2b-c=    ．

10. 难度：中等

若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a²+b²的最小值是    ．

11. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c，一次函数y=k（x-1）-，若它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则二次函数的解析式为    ．

12. 难度：中等

设a、b为实数，方程x²+ax+b=0的两根为x₁，x₂，且x₁³+x₂³=x₁²+x₂²=x₁+x₂，则有序的二元数组（a，b）共有    个．

三、解答题

13. 难度：中等

二次函数y=x²+px+q的图象经过点（2，-1）且与x轴交于不同的两点A（a，0）、B（b，0），设图象顶点为M，求使△AMB的面积最小时的二次函数的解析式．

14. 难度：中等

已知关于x的方程kx²+（2k-1）x+k-1=0（1）只有整数根，且关于y的一元二次方程（k-1）y²-3y+m=0（2）有两个实数根y₁和y₂
（1）当k为整数时，确定k的值；
（2）在（1）的条件下，若m＞-2，用关于m的代数式表示y₁²+y₂²．

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=2，AC=，∠A=∠BCD=45°，求BC的长及△BDC的面积．

16. 难度：中等

新世纪学校七0五班的一个研究性学习小组对学生中午在学校食堂的就餐时间进行了调查．发现在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到校外就餐的人数各是一个固定数．并且发现若开1个窗口，45分钟可使等待人都能买到午餐；若同时开2个窗口，则需30分钟．还发现，若在25分钟内等待的学生都能买到午餐，在单位时间内，外出就餐的人数可减少80%．在学校学生总人数不变且人人都要就餐的情况下，为了方便学生就餐，调查小组建议学校食堂20分钟内卖完午餐．问至少要同时开多少个窗口？