新课标九年级数学竞赛培训第21讲：三角形的内切圆（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r=2，则Rt△ABC的周长为    ．

2. 难度：中等

如图，已知圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于=    cm．

3. 难度：中等

如图，在直角，坐标系中A、B的坐标分别为（3，0）、（0，4），则Rt△ABO内心的坐标是    ．

4. 难度：中等

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB为直径的⊙O与DC相切于E，则DC=    ．

5. 难度：中等

已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD为AB上的高，O_l、O₂分别为△ACD、△BCD的内心，则O_lO₂=    ．

6. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于点E，若BC=2，AC=3，则AE•EB=    ．

二、选择题

7. 难度：中等

已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连接ON、NP．下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP；③PA为∠NPD的平分线．其中一定成立的是（ ）

A．①②
B．②③
C．①③
D．①

8. 难度：中等

如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90度，OA的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径等于（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，以CD为直径的半圆O切AB于点E，这个梯形的面积为21cm²，周长为20cm，那么半圆O的半径为（ ）

A．3cm
B．7cm
C．3cm或7cm
D．2cm

10. 难度：中等

如图，△ABC中，内切圆O和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则以下四个结论中，错误的结论是（ ）

A．点O是△DEF的外心
B．∠AFE=（∠B+∠C）
C．∠BOC=90°+∠A
D．∠DFE=90°一∠B

11. 难度：中等

如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（ ）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心

12. 难度：中等

如图，AD是△ABC的角平分线，⊙O过点A且和BC相切于点D，和AB、AC分别交于点E，F，如果BD=AE，且BE=a，CF=b，则AF的长为（ ）

A．a
B．a
C．b
D．b

13. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，连接AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为（ ）

A．
B．
C．
D．不能确定

三、解答题

14. 难度：中等

已知∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）．
求证：F为△CDE的内心．

15. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB为直径作半圆O切CD于E，连接OE，并延长交AD的延长线于F．
（1）问∠BOE能否为120°，并简要说明理由；
（2）证明△AOF∽△EDF，且；
（3）求DF的长．

16. 难度：中等

如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O₁、O₂分别是△ABC，△ACD、△BCD的角平分线的交点，
求证：（1）O₁O⊥CO₂；（2）OC=O₁O₂．

17. 难度：中等

如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，切点分别为B、P，过C点的切线与AD交于点D，连接AO、DO．
求证：△ABO∽△OCD．

18. 难度：中等

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长与BC相交于点E．
（1）若BC=，CD=1，求⊙O的半径；
（2）取BE的中点F，连接DF，求证：DF是⊙O的切线；
（3）过D点作DG⊥BC于G，DG与OE相交于点M，求证：DM=GM．

19. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5厘米，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．
（1）求⊙O的直径；
（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积；
（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

如图，AB是半圆的直径，AC为半圆的切线，AC=AB、在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点F，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F．
（1）设是x°的弧，并要使点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是______；
（2）不论D点取在半圆什么位置，图中除AB=AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明．

21. 难度：中等

如图，△ABC的三边满足关系BC=（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H，
求证：（1）AI=BD；
（2）OI=AE．

22. 难度：中等

如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC，与DE交于点P．问EP与PD是否相等？证明你的结论．

23. 难度：中等

如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．