2010年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若实数a，b满足，则a的取值范围是（ ）
A．a≤-2
B．a≥4
C．a≤-2或a≥4
D．-2≤a≤4

3. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在一列数x₁，x₂，x₃，…中，已知x₁=1，且当k≥2时，（取整符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如[2.6]=2，[0.2]=0），则x₂₀₁₀等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，-1），C（-2，-1），D（-1，1）．以A为对称中心作点P（0，2）的对称点P₁，以B为对称中心作点P₁的对称点P₂，以C为对称中心作点P₂的对称点P₃，以D为对称中心作点P₃的对称点P₄，…，重复操作依次得到点P₁，P₂，…，则点P₂₀₁₀的坐标是（ ）

A．（2010，2）
B．（2010，-2）
C．（2012，-2）
D．（0，2）

二、填空题

6. 难度：中等

已知a=-1，则2a³+7a²-2a-12的值等于    ．

7. 难度：中等

一辆客车，一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等．走了10分钟，小轿车追上了货车；又走了5分钟，小轿车追上了客车．问过    分钟，货车追上了客车．

8. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是    ．

9. 难度：中等

如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD=CF，则=    ．

10. 难度：中等

对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i-1．若n的最小值n满足2000＜n＜3000，则正整数k的最小值为    ．

三、解答题

11. 难度：中等

如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF．求证：．

12. 难度：中等

如图1，抛物线y=ax²+bx（a＞0）与双曲线相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
（1）求实数a，b，k的值；
（2）如图2，过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△COE∽△BOA的点E的坐标（提示：C点的对应点为B）．

13. 难度：中等

求满足2p²+p+8=m²-2m的所有素数p和正整数m．

14. 难度：中等

从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？