2009年浙江省温州市平阳县鳌江五中九年级数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若0＜a＜1，-2＜b＜-1，则的值是（ ）
A．0
B．-1
C．-3
D．-4

2. 难度：中等

把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
A．六边形
B．五边形
C．四边形
D．三角形

3. 难度：中等

如图，在一个棱长为6cm的正方体上摆放另一个正方体，使得上面正方体的四个顶点恰好均落在下面正方体的四条棱上，则上面正方体体积的可能值有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个

4. 难度：中等

若干名工人某天生产同一种零件，生产的零件数整理成条形图（如图所示）．设他们生产零件的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）

A．b＞a＞c
B．c＞a＞b
C．a＞b＞c
D．b＞c＞a

5. 难度：中等

已知一次函数y=kx-k，若y随x的增大而减小，则该函数的图象经过（ ）
A．第一，二，三象限
B．第一，二，四象限
C．第二，三，四象限
D．第一，三，四象限

6. 难度：中等

如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分（即S₁=S₂=S₃），且DE∥FG∥BC，BC=，FG-DE=（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）

A．6
B．7
C．8
D．9

8. 难度：中等

如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边（ ）
A．AB上
B．BC上
C．CD上
D．DA上

二、填空题

9. 难度：中等

a、b为实数，且满足a＞b＞0，a²+b²=4ab，则的值等于    ．

10. 难度：中等

甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想数字，把乙所猜数字记为b，且a，b分别取0，1，2，3，若a，b满足|a-b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，现任意找两个玩这个游戏，得出“心有灵犀”的概率为    ．

11. 难度：中等

将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad-bc，上述记号就叫做2阶行列式．若=6，则x=    ．

12. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，E是AD延长线上一点，若DE=AB=3cm，CE=4cm，则AD的长是    cm．

13. 难度：中等

以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC²=AC•BC，则∠CAB=    ．

14. 难度：中等

某村居民在第一年内增加了n人，而在第二年又增加了300人．但也能说是居民人数在第一年增加了300%，而在第二年又增加了n%，则该村现有    个居民．

15. 难度：中等

已知0＜a＜1，且满足（[x]表示不超过x的最大整数），则[10a]的值等于     （其中[x]表示不超过x的最大整数）．

16. 难度：中等

已知点P₁、P₂、P₃、…、P₂₀₀₉在反比例函数上，它们的横坐标分别为x₁、x₂、x₃、…、x₂₀₀₉，纵坐标分别是1、3、5…共2009个连续奇数，过P₁、P₂、P₃、…、P₂₀₀₉分别作y轴的平行线，与的图象交点依次为Q₁（x₁，y₁′）、Q₂（x₂，y₂′）、…、Q₂₀₀₉（x₂₀₀₉，y₂₀₀₉′），则|P₂₀₀₉Q₂₀₀₉|=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，3}，{2，7，8，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8-a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．
（1）请你判断集合{1，2}，{1，4，7}是不是好的集合；
（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子．

18. 难度：中等

如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=．
（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘
米）．

19. 难度：中等

一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），该列火车挂有一节邮政车厢，运行时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包一个．
（1）写出列车在第x车站启程时，邮政车厢上共有邮包的个数y（用x、n表示）．
（2）当n=20时，列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多？

20. 难度：中等

（1）如图A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC为1km，B工厂到河堤的距离BD为2km，经测量河堤上C、D两地间的距离为6km．现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道之和最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？
（2）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想构造图形，尝试解决下面问题：若，当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值．

21. 难度：中等

如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB=PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．