2003年初三数学竞赛选拔试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

2³⁰⁰+（-2³⁰¹）=    ．

2. 难度：中等

比较2¹⁰⁰与3⁷⁵的大小    

3. 难度：中等

已知y₁=x²-7x+6，y₂=7x-3，且y=y₁+xy₂，当x=2时，y=    ．

4. 难度：中等

如图，AB∥ED，则∠A+∠C+∠D=    ．

5. 难度：中等

一个角比它的补角的一半还小18°24′36″，则这个角是    ．

6. 难度：中等

（1）小明今天买了5本书；（2）2002年美国在阿富汗的战争每月耗费10亿美元；（3）有关部门预测：2002年以DVD形式出售的影片将首次超过盒式录像带，达到95亿美元；（4）人的大脑有10000000000个细胞．（5）这次测验小红得了92分．（6）地球上煤储量为15万亿吨以上．上述数据中，精确的有    ，近似的有    （填序号）．

7. 难度：中等

如果4x²-mxy+9y²是一个完全平方式，则m=    ．

8. 难度：中等

已知1+x+x²+x³=0，则x+x²+x³+…+x²⁰⁰⁴的值是   

9. 难度：中等

在△ABC中，若a²+b²=25，a²-b²=7，c=5，则最大边上的高为    ．

10. 难度：中等

如下图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且，AB=4，则AD的长为    ．

11. 难度：中等

如图有一个圆柱形的油桶，它的高是80，底面直径是50．在圆柱下底面点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点在同侧的B点处的食物，但由于A，B两点间有障碍，不能直接到达，蚂蚁只能沿桶壁爬行，则蚂蚁需要爬行的最短路程是    （π取整数3）．

12. 难度：中等

如果方程x²+px+1=0（p＞0）的两根之差是1，则p=   

13. 难度：中等

若a为整数，且点M（3a-9，2a-10）在第四象限，则a²+1的值是   

14. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE：EB=2：1，AF⊥DE于G，交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积比是    ．

15. 难度：中等

已知圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD，若CD=4，则AB的弦心距是    ．

二、选择题

16. 难度：中等

某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次左拐30°，第二次右拐30°
B．第一次右拐50°，第二次左拐130°
C．第一次右拐50°，第二次右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°

17. 难度：中等

在M₁=2.02×10^-6，M₂=0.0000202，M₃=0.00000202，M₄=6.06×10^-5四个数存在两个数，其中一个数是另一个数的3倍，这两个数为（ ）
A．M₂与M₄，且M₄=3M₂
B．M₁与M₃，且M₃=3M₁
C．M₁与M₄，且M₄=3M₁
D．M₂与M₃，且M₃=3M₂

18. 难度：中等

无论m为任何实数，二次函数y=x²+（2-m）x+m的图象总过的点是（ ）
A．（1，3）
B．（1，0）
C．（-1，3）
D．（-1，0）

19. 难度：中等

关于x的方程（m-2）x²-2x+1=0有实数解，那么m的取值范围是（ ）
A．m≠2
B．m≤3
C．m≥3
D．m≤3且m≠2

20. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与AC相切于C，又⊙O与BC的另一交点为D，则线段BD的长为（ ）

A．1
B．
C．
D．

三、解答题

21. 难度：中等

已知，，求的值．

22. 难度：中等

某市为了改变市容市貌，提高人民的生活水平，市政府投入巨额资金拆掉大批小平房，建成风景秀丽的无业小区，如图所示是四个物业小区，分别用A，B，C，D表示．为了使四个小区中的孩子能就近上学，市政府准备修建一所小学H，问H应建在何处，才能使四个小区的孩子上学走路的总和最小，请你找出H的位置，并说明理由．

23. 难度：中等

如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．
（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？

24. 难度：中等

计算+

25. 难度：中等

已知a，b是整数，x²-ax+3-b=0有两个不相等的实数根，x²+（6-a）x+7-b=0有两个相等的实数根，x²+（4-a）x+5-b=0没有实数根，求a，b的值．

26. 难度：中等

（1）解方程：；
（2）如图在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．①求证：△ABC∽△FCD；②若S_△FCD=5，BC=10，求DE的长．

27. 难度：中等

根据有关信息，有一批货物，如果本月出售，可获利100元，然后可将本利都存入银行，已知银行每月利率是0.5%；如果下月初出售，可获利120元，但要付5元的保管费，试问这批货物何时出售好？

28. 难度：中等

如图，已知⊙O₁和⊙O₂外切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，AP的延长线交⊙O₁于C点，BP的延长线交⊙O₂于D点，直线O₁O₂交⊙O₁于M，交⊙O₂于N，与BA的延长线交于点E．
求证：（1）AB²=BC•DA．
（2）线段BC，AD分别是两圆的直径．
（3）PE²=BE•AE．

29. 难度：中等

如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA和AB边所在的直线的解析式分别为：y=x和y=-x+．D、E分别为边OC和AB的中点，P为OA边上一动点（点P与点O不重合），连接DE和CP，其交点为Q．
（1）求证：点Q为△COP的外心；
（2）求正方形OABC的边长；
（3）当⊙Q与AB相切时，求点P的坐标．