1998年全国初中数学竞赛试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设m=+1，那么的整数部分是    ．

2. 难度：中等

在直角三角形ABC中，两条直角边AB，AC的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线的长度等于    厘米．

3. 难度：中等

已知x²-x-1=0，那么代数式x³-2x+1的值是    ．

4. 难度：中等

已知m、n是有理数，方程x²+mx+n=0有一个根是，则m+n的值为    ．

5. 难度：中等

如图，ABCD为正方形，A，E，F，G在同一条直线上，并且AE=5厘米，EF=3厘米，那么FG=    厘米．

6. 难度：中等

满足1998²+m²=1997²+n²（0＜m＜n＜1998）的整数对（m、n）共有    个．

7. 难度：中等

设平方数y²是11个相继整数的平方和，则y的最小值是    ．

8. 难度：中等

直角三角形ABC中，直角边AB上有一点M，斜边BC上有一点P，已知MP⊥BC，△BMP的面积等于四边形MPCA的面积的一半，BP=2厘米，PC=3厘米，那么直角三角形ABC的面积是    平方厘米．

9. 难度：中等

已知正方形ABCD的面积35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点，AF和CE相交于点G，并且△ABF的面积为5平方厘米，△BCE的面积为14平方厘米，那么四边形BEGF的面积是    平方厘米．

10. 难度：中等

把100个苹果分给若干个人，每人至少分一个，且每人分的数目各不相同，那么至多     人．

11. 难度：中等

设（a，b）为实数，那么a²+ab+b²-a-2b的最小值是    ．

12. 难度：中等

1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是    ．

13. 难度：中等

在右边的加法算式中，每一个□表示一个数字，任意两个数字都不相同，那么A与B乘积的最大值是    ．

14. 难度：中等

直线AB和AC与圆O分别为相切于B，C两点，P为圆上一点，P到AB，AC的距离分别为4厘米，6厘米，那么P到BC的距离为    厘米．

15. 难度：中等

每一本书都有一个国际书号：A B C D E F G H I J，其中A B C D E F G H I由九个数字排列而成，J是检查号码．令S=10A+9B+8C+7D+6E+5F+4G+3H+2I，r是S除以11所得的余数，若r不等于0或1，则规定J=11-r．（若r=0，则规定J=0；若r=1，规定J用x表示）现有一本书的书号是962y707015，那么y=    ．

二、解答题

16. 难度：中等

求所有正实数a，使得方程x²-ax+4a=0仅有整数根．

17. 难度：中等

已知P为▱ABCD内一点，O为AC与BD的交点，M、N分别为PB，PC的中点，Q为AN与DM的交点，
求证：（1）P，Q，O三点在一条直线上；
（2）PQ=2OQ．

18. 难度：中等

试写出5个自然数，使得其中任意两个数中较大的一个数可以被这两个数的差整除．