2009年全国初中数学竞赛（湖南省衡阳市）九年级试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知点M与点P关于x轴对称，点N与点M关于y轴对称，若点N（1，2），则点P的坐标为（ ）
A．（2，1）
B．（-1，2）
C．（-1，-2）
D．（1，-2）

2. 难度：中等

直线y=x+1与y=-x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，则△ABC的面积为（ ）
A．6
B．4
C．3
D．2

3. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D在BC上，AD=BD，E为AB的中点，AD、CE相交于点F，∠DFE等于（ ）

A．40°
B．50°
C．60°
D．70°

4. 难度：中等

以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E．则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（ ）

A．3：4
B．4：5
C．5：6
D．6：7

二、填空题

5. 难度：中等

如图，已知AB=AC=5，BC=3，沿BD所在的直线折叠，使点C落在AB上的E点，则△AED的周长为    ．

6. 难度：中等

已知反比例函数的图象与一次函数y=kx+m的图象交于点A（2，1），则k=    ，m=    ．

7. 难度：中等

已知x为整数，且为整数，则所有符合条件的x值的和为    ．

8. 难度：中等

有三种物品，每件的价格分别是2元，4元和6元，现用60元买这三种物品，总共买16件而钱恰好用完，则价格为6元的物品最多买     件．

三、解答题

9. 难度：中等

如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA=a，OB=OC=OD=1，求a的值．

10. 难度：中等

已知a，b均为不超过4的正整数，b≠2a，关于x，y的方程组只有正数解，求a，b的所有可能值．

11. 难度：中等

如图，在△ABC中，CD是高，CE是∠ACB的平分线，若AC=15，BC=20，CD=12，求CE的长．

12. 难度：中等

一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车新轮胎能行驶多少km．

13. 难度：中等

十个人围成一圈，每个人心里都想好一个数，并把自己想的数如实告诉他两旁的人，每个人都将他两旁的人告诉他的数的平均数报出来，报出的数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．问报3的人心里想的数是多少？

14. 难度：中等

已知抛物线y=x²与动直线y=（2t-1）x-c有公共点（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁²+x₂²=t²+2t-3．
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．