2008年全国初中数学竞赛（湖南省衡阳市）九年级试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知，则a⁴与a⁶的大小关系为a⁴     a⁶（填“＞”或“＜”或“=”）．

2. 难度：中等

对于数x、y，定义一种新的运算*，x*y=ax+by，其中a，b为常数，等式的右边是通常的加法与乘法运算．已知3*5=15，4*7=28，则1*1=    ．

3. 难度：中等

一天晚上停电了，小明同时点上两支粗细不同的蜡烛看书，若干分钟后电来了，小明将两支蜡烛同时熄灭，已知粗的新蜡烛可燃烧2小时，细的新蜡烛可燃烧1小时，开始时两根蜡烛一样长，熄灭时粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍，则停电时间为     分钟．

4. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系，点A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线所在直线交于点C，则∠ACB的度数为    ．

二、选择题

5. 难度：中等

如果a个人n天可修路x米，那么n个人修a米路需要用的天数是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

矩形ABCD中，E是CD上一点，CE：ED=1：3，AD：AE=1：2，则△ABE为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形

7. 难度：中等

若关于x，y的方程组的解是一对正数，则整数a的值为（D ）
A．2，3，4，5
B．2，3，4
C．4，5
D．3，4

8. 难度：中等

在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有（ ）
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个

三、解答题

9. 难度：中等

已知实数x，y满足x⁴+x²=3，y⁴-y²=3．求x⁴+y⁴的值．

10. 难度：中等

把一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别m，n，求二次函数y=x²+mx+n的图象与x轴只有一个交点的概率．

11. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB+AC=20，M、N分别为BC、AC的中点，AD是∠BAC的平分线，ME∥AD交AC于E，求EC的长．

12. 难度：中等

附加题：小刚沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆2路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆2路公交车．假设每辆2路公交车行驶速度相同，而且2路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是多少分钟．

13. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（kb≠0）的图象过点（1，kb），与x轴、y轴分别交于A、B两点，设△ABO的面积为S．
（1）用b表示S．
（2）若b≥2，求S的最小值．

14. 难度：中等

如图，已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB，DC的延长线交圆O于点E，试探究AE的长是否为定值（不随AB长度的变化而变化）？若为定值，求出这个定值；若不为定值，试确定AE与AB长之间的关系．______．

15. 难度：中等

已知一次函数y₁=6x，二次函数y₂=3x²+3，是否存在二次函数y₃=x²+bx+c，其图象经过点（-4，1），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数对应的函数值y₁，y₂，y₃都有y₁≤y₂≤y₃成立？若存在，求出函数y₃的解析式；若不存在，请说明理由．