竞赛辅导：分类与讨论1（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若，则直线y=kx+k的图象必经过（ ）
A．第一、二、三象限
B．第二、三象限
C．第二、三、四象限
D．以上均不正确

二、解答题

2. 难度：中等

从1，2，3，…，99共99个数中选取两个数相加，使其和小于100，问有多少种不同的取法？

3. 难度：中等

已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|，求y的最大值．

4. 难度：中等

解方程：|x-|3x+1||=4；

5. 难度：中等

k为何值时，方程组只有一组解？

6. 难度：中等

设x、y是有理数，且使以下四个数：x+y，x-y，xy，有3个值相同，求出符合条件的所有数对（x，y）．

7. 难度：中等

求使关于x的二次方程（a+1）x²-（a²+1）x+2a³-6=0有整数根的所有整数a．

8. 难度：中等

当a在什么范围内取值时，方程|x²-5x|=a有且只有相异实数根？

9. 难度：中等

以AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆上一点，且OC²=AC•BC，则∠CAB为多少？

10. 难度：中等

已知等腰△ABC，由顶点A所引BC边上的高线长等于BC边长的一半，求∠BAC的度数．

11. 难度：中等

设二次函数y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的图象与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于C点，线段AO与OB的长的积等于6（O是坐标原点），连接AC、BC，求sinC的值．

12. 难度：中等

求证：a、b为两个整数，则a+b，a-b，ab三者中至少有一个是3的倍数．

13. 难度：中等

六盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须以完全一样的面对接，最后得到的包装形状是一个长方形．已知磁带盒的大小为abc=11×7×2（单位cm）．
（1）请画出示意图，给出一种打包方式，使其表面积最小；
（2）若不给出a、b、c的具体尺寸，只假定a≥b≥c，3问能否按照已知的方式打包，使其表面积最小？并说明理由．

14. 难度：中等

甲、乙、丙、丁四人分别按下列的要求作一个解为x₁，x₂的一元二次方程x²+px+q=0．
甲：p，q，x₁，x₂都取被3除余1的整数；
乙：p，q，x₁，x₂都取被3除余2的整数；
丙：p，q取被3除余1的整数，x₁，x₂取被3除余2的整数；
丁：p，q取被3除余2的整数，x₁，x₂取被3除余1的整数；
问：甲、乙、丙、丁是否能按上述要求各自作出方程？若可以作出，请你写出一个这样的方程，若不能作出，请你说明理由．