竞赛辅导：整数的基本知识4（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

5¹⁹⁹⁹的末三位数是（ ）
A．025
B．125
C．625
D．825

2. 难度：中等

若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）时均不产生进位现象，便称n为“连绵数”．如因为12+13+14不产生进位现象，所以12是“连绵数”；但13+14+15产生进位现象，所以13不是“连绵数”，则不超过100的“连绵数”共有（ ）个．
A．9
B．11
C．12
D．15

3. 难度：中等

小于1000既不能被5整除，又不能被7整除的自然数的个数为（ ）
A．658
B．648
C．686
D．688

二、填空题

4. 难度：中等

2^m+2006+2^m（m是正整数）的末位数字是     ．

5. 难度：中等

满足[x•y]=6，[y•z]=15的正整数组（x，y，z）共有     组．

6. 难度：中等

设n为自然数，则3²ⁿ+8被8除的余数是    ．

三、解答题

7. 难度：中等

甲、乙、丙三个数分别是312，270，211．用自然数A分别去除这三个数，除甲所得余数是乙所得余数的2倍，除乙所得余数是丙所得余数的2倍，求这个自然数A．

8. 难度：中等

若2x78是一个能被17整除的四位数，求x．

9. 难度：中等

已知一个七位自然数62xy427能被99整除，试求950x+24y+3．

10. 难度：中等

已知两个三位数abc，def，和abc+def能被37整除，证明：六位数abcdef也能被37整除．

11. 难度：中等

今天是星期六，从今天起10²⁰⁰⁰天后的那一天是星期几？

12. 难度：中等

已知1999个自然数a₁，a₂，…，a₁₉₉₉满足条件：其中任意两数的和能被它们的差整除．现设n=a₁a₂…a₁₉₉₉，证明：n，n+a₁，n+a₂，…，n+a₁₉₉₉这2000个数仍满足上述条件．

13. 难度：中等

已知定理“若大于3的三个质数a、b、c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数”．试问：这个定理中的整数n的最大可能值是多少？请证明你的结论．

14. 难度：中等

如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax²+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），
证明：（1）2a，2b，c都是整数；
（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；
（3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax²+bx+c的值都是平方数？

15. 难度：中等

沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式（a-d）（b-c）＞0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作．
（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有（a-d）（b-c）≤0？请说明理由．
（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有（a-d）（b-c）≤0？请说明理由．