竞赛辅导：函数最值问题常用策略及应用1（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若实数a、b、c满足a²+b²+c²=9，那么代数式（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²的最大值是    ．

2. 难度：中等

在平面直角坐标系中，设P（-1，1），Q（2，3），x轴上有一点R，则PR+RQ的最小值为    ．

3. 难度：中等

设x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+ax+a=2的两个实数根，则（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）的最大值为    ．

4. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（-1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为    ．

5. 难度：中等

设x为正实数，则函数y=x²-x+的最小值是    ．

二、选择题

6. 难度：中等

如果抛物线y=x²-（k-1）x-k-1与x轴的交点为A、B，顶点C，那么三角形ABC的面积的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

不等边三角形ABC的两条高分别是4和12，若第三边上的高也是整数，那么这条高最长的可能是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

三、解答题

8. 难度：中等

设x是实数，求y=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值．

9. 难度：中等

已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．

10. 难度：中等

当x为实数时，求函数的最值？

11. 难度：中等

如图所示，在直角梯形ABCD中，AB=2，P是边AB的中点，∠PDC=90°，问梯形ABCD面积的最小值是多少？

12. 难度：中等

设p是实数，二次函数y=x²-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x₁，0）、B（x₂，0）．
（1）求证：2px₁+x₂²+3p＞0；
（2）若A、B两点之间的距离不超过|2p-3|，求P的最大值．