竞赛辅导：二次函数的最值问题（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

（1）已知函数，当x=    时，y取最大值是    ；当x=    时，y取最小值是    ．
（2）已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，对称轴是直线x=2，当，对应的值y分别是y₁、y₂、y₃，则y₁、y₂、y₃的大小关系是    ．
（3）函数的最大值与最小值分别是    ．
（4）已知二次函数y=x²+2x+a（0≤x≤1）的最大值是3，那么a的值为    ．

二、解答题

2. 难度：中等

已知x₁，x₂是方程x²-（k-2）x+（k²+3k+5）=0的两个实数根，求x₁²+x₂²的最大值和最小值．

3. 难度：中等

（1）求函数y=|x²-4|-3x在区间-2≤x≤5中的最大值和最小值．
（2）已知：|y|≤1，且2x+y=1，求2x²+16x+3y²的最小值．

4. 难度：中等

有两条抛物线y=x²-3x，y=-x²+9，通过点P（t，0）且平行于y轴的直线，分别交这两条抛物线于点A和B，当t在0到3的范围内变化时，求线段AB的最大值．

5. 难度：中等

已知二次函数y=-9x²-6ax-a²+2a有最大值-3，求实数a的值．

6. 难度：中等

在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点对称为整点，试在二次函数y=-+的图象上找出满足y≤|x|的所有整点（x，y），并说明理由．

7. 难度：中等

求分式的最小值．

8. 难度：中等

已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

9. 难度：中等

设x为正整数，则函数的最小值是多少？

10. 难度：中等

已知：0≤x≤1，函数的最小值为m，试求m的最大值．

11. 难度：中等

对于任意实数x，不等式kx²-kx-1＜0恒成立，求k的取值范围．

12. 难度：中等

如图，半径为1的半圆内接等腰梯形，其下底是半圆的直径，试求：
（1）它的周长y与腰长x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
（2）当腰长为何值时，周长有最大值？这个最大值为多少？

13. 难度：中等

已知实数a、b满足等式（a-2）²+b²=3，求：的最大值和最小值．

14. 难度：中等

已知：方程x²-2（k-1）x+2k²-12k+17=0，两根为x₁、x₂，求x₁²+x₂²的最大值与最小值，并求此时方程的根．

15. 难度：中等

根据某服装店统计，服装价格每提高3%，出售服装的件数就要降低2%，设某种服装提价x%，结果每天的经营收入（价格×出售件数）为原来的y倍，
（1）写出y与x的函数关系；
（2）要使经营收入不降低，x应控制在什么范围内？
（3）当x是什么值时，能使经营收入最多？

16. 难度：中等

求函数的最值．